Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

Профильный уровень ЕГЭ 2015 с Wolfram|Alpha :: Задание 18



РЕАЛЫ ОКРУЖНОСТИ


01 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 18. Планиметрия


02 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 18. Планиметрия


03 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 18. Планиметрия


04 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 18. Планиметрия


05 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 18. Планиметрия



ПОДГОТОВКА К ЕГЭ


01 ТРЕУГОЛЬНИК: ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ 


01
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.
А
:: Докажите, что CM _L DK .
Б
:: Найдите МН, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312. 


02
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.
А
:: Докажите, что CM DK.
Б
:: Найдите МН, если известно, что катеты треугольника ABC равны 30 и 40. 


03
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.
А
:: Докажите, что CMDK .
Б
:: Найдите МН, если известно, что катеты треугольника ABC равны 60 и 80. 


04
На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
А
:: Докажите, что KN : NL = 2 : 1.
Б
:: Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 18. 


05
На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
А
:: Докажите, что KN : NL = 2 : 1.
Б
:: Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 1. 


06
На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
А
:: Докажите, что KN : NL = 2 : 1.
Б
:: Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 3. 


02
ТРЕУГОЛЬНИК: РАВНОБЕДРЕННЫЙ 


07+
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.
А
:: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б
:: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 


08
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
А
:: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б
:: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 


09
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 31 соответственно.
А
:: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б
:: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 

10 Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 10 и 13 соответственно.
А
:: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б
:: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 


11
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника. BLD с основанием BD.
А
:: Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
Б
:: Известно, что cos ∠ABC = 3/4. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? 


12
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
А
:: Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
Б
:: Известно, что cos ∠ABC = 1/6. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? 


13
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
А
:: Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
Б
:: Известно, что cos ∠ABC = 1/5. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? 


03
ТРЕУГОЛЬНИК: ПРОИЗВОЛЬНЫЙ 


14+
В треугольнике ABC известно, что ∠ВАС = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
А
:: Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
Б
:: Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 12. 


15
В треугольнике ABC известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
А
:: Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
Б
:: Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6. 


16
В треугольнике ABC известно, что ∠ВАС = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
А
:: Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
Б
:: Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10. 


17
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно.
А
:: Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику ABC.
Б
:: Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырёхугольника АКМС, если ВН = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4. 


18
Высоты BB[1] и CC[1] остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
А
:: Докажите, что `*`(`∠`(AH), `*`(B[1])) = `∠`(ACB).
Б
:: Найдите BC, если AH = `+`(`*`(8, `*`(sqrt(3)))) и ∠BAC = 60°. 


19
Высоты BB[1] и CC[1] остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
А
:: Докажите, что `*`(`∠`(BB[1]), `*`(C[1])) = `∠`(BAH).
Б
:: Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если . 


20+
Медианы AA[1], `*`(BB[1], `*`(8, `*`(CC[1]))) треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки A[2], `*`(B[2], `*`(8, `*`(C[2]))) — середины отрезков МА, MB и МС соответственно.
А
:: Докажите, что площадь шестиугольника `*`(A[1], `*`(B[2], `*`(C[1], `*`(A[2], `*`(B[1], `*`(C[2])))))) вдвое меньше площади треугольника АВС.
Б
:: Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8. 


21+
Медианы AA[1], `*`(BB[1], `*`(8, `*`(CC[1]))) треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки A[2], `*`(B[2], `*`(8, `*`(C[2]))) — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
А
:: Докажите, что площадь шестиугольника `*`(A[1], `*`(B[2], `*`(C[1], `*`(A[2], `*`(B[1], `*`(C[2])))))) вдвое меньше площади треугольника ABC.
Б
:: Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 5, ВС = 8 и АС = 10. 


22+
Медианы AA[1], `*`(BB[1], `*`(8, `*`(CC[1]))) треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
А
:: Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Б
:: Найдите сумму квадратов медиан `*`(AA[1], `*`(8, `*`(CC[1]))), если известно, что АС = 10. 


23+
Медианы AA[1], `*`(BB[1], `*`(8, `*`(CC[1]))) треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
А
:: Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Б
:: Найдите сумму квадратов медиан `*`(AA[1], `*`(8, `*`(CC[1]))), если известно, что АС = 12. 


24
Точки B[1] и C[1] лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём `*`(A, `*`(B[1])); -1; `*`(B[1], `*`(C)) = AC[1]; -1; `*`(C[1], `*`(B)). Прямые BB[1] и CC[1] пересекаются в точке О.
А
:: Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
Б
:: Найдите отношение площади четырёхугольника `*`(AB[1], `*`(OC[1])) к площади треугольника ABC, если известно, что `*`(A, `*`(B[1])); -1; `*`(B[1], `*`(C)) = AC[1]; -1; `*`(C[1], `*`(B)) = 1; -1; 3. 


25
Точки B[1] и C[1] лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём AB[1]; -1; `*`(B[1], `*`(C)) = AC[1]; -1; `*`(C[1], `*`(B)). Прямые BB[1] и CC[1] пересекаются в точке О.
А
:: Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
Б
:: Найдите отношение площади четырёхугольника `*`(AB[1], `*`(OC[1])) к площади треугольника ABC, если известно, что AB[1]; -1; `*`(B[1], `*`(C)) = AC[1]; -1; `*`(C[1], `*`(B)) = 1; -1; 2. 


26
Точки B[1] и C[1] лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём  `*`(A, `*`(B[1])); -1; `*`(B[1], `*`(C)) = AC[1]; -1; `*`(C[1], `*`(B)). Прямые BB[1] и CC[1] пересекаются в точке О.
А
:: Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
Б
:: Найдите отношение площади четырёхугольника  `*`(A, `*`(B[1], `*`(OC[1]))) к площади треугольника ABC, если известно, что AB[1]; -1; `*`(B[1], `*`(C)) = AC[1]; -1; `*`(C[1], `*`(B)) = 1; -1; 4. 


27
На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М - середина стороны АВ.
А
:: Докажите, что СМ = DK/2 .
Б
:: Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 14, ВС = 16 и ∠ACB = 150°. 


28
На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина стороны АВ.
А
:: Докажите, что СМ = DK/2 .
Б
:: Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 10, ВС = 32 и ∠AСВ = 30°. 


29
На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М - середина стороны АВ.
А
:: Докажите, что СМ = DK/2 .
Б
:: Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 6, ВС = 10 и ∠ACB = 30°. 


04
ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ 


30+
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
А
:: Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
Б
:: Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? 


31
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
А
:: Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
Б
:: Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? 


32
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
А
:: Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
Б
:: Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? 


33+
Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка K так, что ∠BAC +∠AKC = 90°.
А
:: Докажите, что четырёхугольник ОВКС вписанный.
Б
:: Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника ОВКС, если cos ∠BAC = 5/13, а ВС = 72. 


34+
Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC касается его сторон АВ, АС и ВС в точках C[1], `*`(B[1], `*`(8, `*`(A[1]))) соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника `*`(AB[1], `*`(C[1])).
А
:: Докажите, что `*`(C[1], `*`(Q)) — биссектриса угла `*`(AC[1], `*`(B[1])).
Б
:: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник `*`(AC[1], `*`(B[1])), если известно что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14. 


35
Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках C[1], `*`(B[1], `*`(8, `*`(A[1]))) соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника `*`(AB[1], `*`(C[1])).
А
:: Докажите, что `*`(C[1], `*`(Q)) — биссектриса угла `*`(AC[1], `*`(B[1])).
Б
:: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник `*`(AB[1], `*`(C[1])), если известно что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20. 


36
Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках C[1], `*`(B[1], `*`(8, `*`(A[1]))) соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника  `*`(AB[1], `*`(C[1])).
А
:: Докажите, что `*`(C[1], `*`(Q)) — биссектриса угла `*`(AC[1], `*`(B[1]))
Б
:: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник `*`(AB[1], `*`(C[1])), если известно, что ВС = 9, АВ = 10, АС = 17 


37
Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках C[1], `*`(B[1], `*`(8, `*`(A[1]))) соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника `*`(AB[1], `*`(C[1])) .
А
:: Докажите, что `*`(C[1], `*`(Q)) — биссектриса угла `*`(AC[1], `*`(B[1])) .
Б
:: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник `*`(AB[1], `*`(C[1])), если известно, что ВС = 10, АВ = 17, АС = 21. 


38
Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках C[1], `*`(B[1], `*`(8, `*`(A[1]))) соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника `*`(AB[1], `*`(C[1])).
А
:: Докажите, что `*`(C[1], `*`(Q)) — биссектриса угла `*`(AC[1], `*`(B[1])) .
Б
:: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник `*`(AB[1], `*`(C[1])) , если известно, что BC = 11, АВ = 13, АС = 20. 


39+
Окружность проходит через вершины В и С треугольника ABC и пересекает АВ и АС в точках C[1] и B[1] соответственно.
А
:: Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику `*`(AB[1], `*`(C[1])).
Б
:: Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 60°, `*`(B[1], `*`(C[1])) = sqrt(3) и площадь треугольника `*`(AB[1], `*`(C[1])) в два раза меньше плошали четырёхугольника `*`(BCB[1], `*`(C[1])). 


40+
Окружность проходит через вершины В и С треугольника ABC и пересекает АВ и АС в точках C[1] и B[1] соответственно.
А
:: Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику `*`(AB[1], `*`(C[1])).
Б
:: Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 30°, `*`(B[1], `*`(C[1])) = 5 и площадь треугольника `*`(AB[1], `*`(C[1])) в три раза меньше плошали четырёхугольника `*`(BCB[1], `*`(C[1])). 


41
Высоты `*`(B, `*`(B[1])) и CC[1] остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н.
А
:: Докажите, что `*`(`∠`(B), `*`(B[1], `*`(C[1]))) = `∠`(BAH).
Б
:: Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до стороны ВС , если . 


05
ПРЯМОУГОЛЬНИК 


42+
Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АB угол 30° . Точка Е лежит вне прямоугольника, причём ∠ВЕС = 120°.
А
:: Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.
Б
:: Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что BE = 40 и СЕ = 24. 


43
Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
А
:: Докажите, что ∠СBE = ∠СОЕ.
Б
:: Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что BE = 21 и СЕ = 24. 


44
Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём ∠ВЕС = 120°.
А
:: Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.
Б
:: Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что BE = 12 и СЕ = 20. 


45
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка Р лежит между точками D и Q. Прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВМ.
А
:: Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
Б
:: Известно, что СМ = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD. 


46
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках Р и Q, причём точка Р лежит между точками D и Q. Прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВМ.
А
:: Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
Б
:: Известно, что СМ =17 и CD = 25. Найдите сторону AD. 


06
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 


47
В параллелограмм вписана окружность.
А
:: Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
Б
:: Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. 


48
В параллелограмм вписана окружность.
А
:: Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
Б
:: Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. 


49
В параллелограмм вписана окружность.
А
:: Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
Б
:: Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 4 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. 


50
Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
А
:: Докажите, что ABCD - ромб.
Б
:: Эта окружность пересекает сторону АВ в точке М, причём AM : MB = 1:2. Найдите диагональ АС, если известно, что AD = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(3)))) . 


51
Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
А
:: Докажите, что ABCD — ромб.
Б
:: Эта окружность пересекает сторону АВ в точке М, причём AM : MB = 3:1. Найдите диагональ АС, если известно, что AD = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))). 


52
Противоположные стороны AD и ВС четырёхугольника ABCD параллельны. Через вершины В и D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках М и N соответственно. Оказалось, что AM = MN = NC.
А
:: Докажите, что ABCD - параллелограмм.
Б
:: Найдите отношение площади четырёхугольника BMDN к площади параллелограмма ABCD. 


07
ТРАПЕЦИЯ 


53
ДОСРОЧНЫЙ Дана равнобедренная трапеция АВCD с основаниями ВС и АD. На стороне АВ как на диаметре построена окружность с центром в точке О , касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание АD в точке H. Точка Q - середина стороны CD.
А
:: Докажите, что ОQD  - параллелограмм.
Б
:: Найдите АD , если ∠ВАD = 60°, ВС = 2 . 


54
Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках М и N. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках К и L соответственно.
А
:: Докажите, что МК = NL.
Б
:: Найдите MN, если известно, что ВС = 10, AD = 18 и МК : KL = 1:2. 


55
Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках М и N. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках К и L соответственно.
А
:: Докажите, что МК = NL.
Б
:: Найдите MN, если известно, что ВС = 6, AD = 9  и  МК : KL =1:2. 


56
Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках М и N. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках К и L соответственно.
А
:: Докажите, что МК = NL.
Б
:: Найдите MN, если известно, что ВС = 3, AD = 8 и МК : KL = 1:3. 


08
ТРАПЕЦИЯ И ОКРУЖНОСТЬ 


57
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.
А
:: Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC .
Б
:: Найдите расстояние от точки T до прямой BC , если основания трапеции AB и CD равны 1 и 25 соответственно. 


58
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.
А
:: Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC .
Б
:: Найдите расстояние от точки T до прямой BC , если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно. 


59
Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А
:: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б
:: Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 


60
Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А
:: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б
:: Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 


61
Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А
:: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б
:: Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 


62
Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А
:: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б
:: Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 


63
Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А
:: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б
:: Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 


64
Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
А
:: Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
Б
:: Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 4 и 36. 


09
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ 


65+
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А
:: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б
:: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 5 и АН = 4. 


66
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А
:: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б
:: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 6 и АН = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(5)))). 


67
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А
:: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б
:: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 5 и АН = 3. 


68
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А
:: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б
:: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 3 и АН = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))). 


69
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А
:: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б
:: Найдите площадь четырёхугольника ABCD если известно, что АВ = 4 и АН = sqrt(15). 


70
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины А опущены перпендикуляры AF, АН, АР и AQ на прямые DE, BE, CD и ВС соответственно.
А
:: Докажите, что ∠FAH = ∠PAQ.
Б
:: Найдите АН, если AF = a, АР = b и AQ = с. 


10
ОКРУЖНОСТЬ 


71
ДОСРОЧНЫЙ К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках М и N соответственно.
А
:: Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата
Б
:: Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. Найдите отношение, в котором делится сторона ВС прямой, проходящей через точку Р и центр окружности, если известно, что AM : MB = 1 : 2.  


72
Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O[1] также вписана в этот угол и проходит через точку О.
А
:: Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
Б
:: Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(15)))) . 


73
Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O[1] также вписана в этот угол и проходит через точку О.
А
:: Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
Б
:: Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(3)))) . 


74
Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O[1] также вписана в этот угол и проходит через точку О.
А
:: Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
Б
:: Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(15)))) . 


75
ДОСРОЧНЫЙ Окружность, построенная на медиане ВМ равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, кторой раз пересекает основание ВС в точке K.
А
:: Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
Б
:: Пусть указанная окружность пересекает сторону AB а точке N. Найдите АВ, селя BK = 18 и BN = 17. 

Досрочный ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 18. Планиметрия


76
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C[1] и B[1] соответственно.
А
:: Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB1C1.
Б
:: Найдите радиус данной окружности, если DA = 300, `*`(B[1], `*`(C[1])) = 5 и площадь треугольника AB1C1 в три раза меньше площади четырёхугольника `*`(BCB[1], `*`(C[1])). 


77
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
А
:: Докажите, что эти хорды равны.
Б
:: Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(21)))) . 


78
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
А
:: Докажите, что эти хорды равны.
Б
:: Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(14)))) . 


79+
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А
:: Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б
:: Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2. 


80
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А
:: Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б
:: Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1. 


81
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А
:: Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б
:: Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2. 


82
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая АВ касается первой окружности в точке A, а второй - в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
А
:: Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
Б
:: Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. 


83
Две окружности пересекаются в точках Р и Q. Прямая, проходящая через точку Р, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую - в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую - в точке C.
А
:: Докажите, что четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Б
:: Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. 


 

C4 ЕГЭ 2014

09.07.2014 » РЕАЛ » ВОЛНА »

Решение задачи C4 ЕГЭ

19.06.2014 » РЕАЛ » РЕЗЕРВ »

Решение

polygon [0, 0], [46/9, (20/9)*sqrt(2)], [9, 0],[5, sqrt(2)],triangle [20/3, (4/3)*sqrt(2)], [5, sqrt(2)], [6, 0]

05.06.2014 » РЕАЛ » ЗАПАД »

Решение задачи C4 ЕГЭ

triangle with vertices (-21sin(7Pi/18), 0),(0,7sin(7Pi/18)sqrt3),(7cos(7Pi/18)sqrt3,0)

polygon (-19.7,0),(0,11.4),(1.4,7.7) and polygon (-1.8, 10.3),(0,11.4),(4.1,0)

Решение

circle (0,0),(4.1,7.1),(13.8,0) and polygon (13.8,23.9)(16.3,0),(4.1,7.1),(13.8,23.9),(13.8,0),(4.1,7.1),(0,0),(13.8,1.4)

Решение

circle (0,0),(3.9,1),(1.4,2.4) and polygon (0,0),(3.9,6.7)(5.7,0),(1.4,2.4),(3.9,1),(0,0),(3.9,0),(3.9,6.7)

Решение

circle (0,0),(3,2.6),(4,0) and polygon (3,2.6),(0,0),(4,0)(3,2.6),(5.5,1.3),(4,0)

05.06.2014 » РЕАЛ » ВОСТОК »

Решение задачи C4 ЕГЭ

Решение

circle [0,5], [-2.5, 2.5], [2.1, 1.1],polygon [-5, 0], [-2.5, 2.5], [2.1, 1.1], [2.6, 0],polygon [0, 5], [-2.5, 2.5], [0, 0], [2.1,1.1]

08.05.2014 » ДОСРОЧНЫЙ » РЕЗЕРВ »

Решение задачи C4 ЕГЭ

triangle [0,2],[3.5,0],[-3.5,0], polygon [-1.3,1.3],[1.3,1.3], [1.3,0],[-1.3,0]

Решение задачи C4 ЕГЭ

triangle [0,2],[3.5,0],[-3.5,0], polygon [-1.3,1.3],[1.3,1.3], [1.3,0],[-1.3,0]

28.04.2014 » ДОСРОЧНЫЙ »

Решение задачи C4 ЕГЭ

polygon [7.1, -29.1],[-30, 0],[26, 15],[7.1, -29.1],[46, 0], [26, 15] and circle through [7.1, -29.1],[-30, 0],[26, 15]

Решение задачи C4 ЕГЭ

polygon [57.8, -55.3],[-80, 0],[69.3, 40],[57.8, -55.3],[99.3, 0], [69.3, 40] and circle through [-80, 0], [69.3, 40], [57.8, -55.3]

Решение задачи C4 ЕГЭ

Решение задачи C4 ЕГЭ

Решение задачи C4 ЕГЭ

polygon [7.1, -29.1],[-30, 0],[26, 15],[7.1, -29.1],[46, 0], [26, 15] and circle through [7.1, -29.1],[-30, 0],[26, 15]

19.05.2014 » ТРЕНИНГ » ДЕМОН » 7 »

Решение задачи C4 ЕГЭ

Решение задачи C4 ЕГЭ

22.04.2014 » ТРЕНИНГ » ДЕМОН » 6 »

Решение задачи C4 ЕГЭ

Решение задачи C4 ЕГЭ

13.03.2014 » ДИАГНОЗ » ДЕМОН » 5 »

Решение задачи C4 ЕГЭ

Решение задачи C4 ЕГЭ

 
 

Назад

Индекс

Вперед



Сайт самостоятельной студенческой работы

Рейтинг@Mail.ru
Рейтинг@Mail.ru