Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

Профильный уровень ЕГЭ 2015 с Wolfram|Alpha :: Задание 16


РЕАЛ 01 ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА


01 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия


02 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия


03 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия


04 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия


РЕАЛ 02 ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА


05 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия


06 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия


07 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия



ПОДГОТОВКА К ЕГЭ


01 КУБ


01+ Дан куб
ABCDA1B1C1D1 .
А
:: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, A[1] и D[1].
Б :: Найдите угол между плоскостями `*`(`*`(`*`(BA[1], `*`(C[1], `*`(8))), BA[1]), `*`(D[1]))


02 Дан куб
ABCDA1B1C1D1.
А
:: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A[1], D .
Б :: Найдите угол между плоскостями `*`(AB[1], `*`(C[1], `*`(8, `*`(BA[1], `*`(D[1]))))) .


03 Дан куб
ABCDA1B1C1D1.
А
:: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер AB, `*`(B[1], `*`(C[1])), AD.
Б :: Найдите угол между плоскостью `*`(A[1], `*`(BD)) и плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, `*`(B[1], `*`(C[1])), AD.


04 Дан куб
ABCDA1B1C1D1.
А
:: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, B, C[1].
Б :: Найдите угол между прямой AC[1] и плоскостью BCC[1] .


05 Дан куб
ABCDA1B1C1D1.
А
:: Докажите, что прямая BD[1] перпендикулярна плоскости `*`(AD[1], `*`(C[1])).
Б :: Найдите угол между плоскостями `*`(AD[1], `*`(C[1])) и `*`(A[1], `*`(D[1], `*`(C))).


06 Дан куб
ABCDA1B1C1D1.
А
:: Докажите, что прямая `*`(D, `*`(B[1])) перпендикулярна, плоскости `*`(A[1], `*`(B, `*`(C[1]))).
Б :: Найдите угол между плоскостями `*`(AB[1], `*`(C[1])) и `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C))).


07 ДОСРОЧНЫЙ В кубе
ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На отрезке BB[1] отмечена точка K так, что KB равно 3. Через точки K и C[1] проведена плоскость α , параллельная прямой BD[1].
А
:: Докажите, что `*`(A[1], `*`(P)); -1; PB[1] = 1; -1; 2 , где Р - точка пересечения плоскости α с ребром `*`(A[1], `*`(B[1])).
Б :: Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .

Досрочный ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 16. Стереометрия

08 ДОСРОЧНЫЙ Ребро куба
ABCDA1B1C1D1 равно 4. На отрезке BB[1] отмечена точка K так, что KB равно 3. Через точки K и C[1] проведена плоскость α , параллельная прямой BD[1].
А
:: Докажите, что `*`(A[1], `*`(P)); -1; PB[1] = 2; -1; 1 , где Р - точка пересечения плоскости α с ребром `*`(A[1], `*`(B[1])).
Б :: Найдите угол наклона плоскости α к грани `*`(BB[1], `*`(C[1], `*`(C))).


02
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД


09+ На ребре AA[1] прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что `*`(A[1], `*`(E)); -1; EA = 4; -1; 3. Точка Т - середина ребра `*`(B[1], `*`(C[1])). Известно, что AB = 5, AD = 8, AA[1] = 14.
А
:: В каком отношении плоскость ETD[1] делит ребро BB[1]?
Б :: Найдите угол между плоскостью ETD[1] и плоскостью `*`(AA[1], `*`(B[1])).


10+ На ребре AA[1] прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что `*`(A[1], `*`(E)); -1; EA = 3; -1; 4. Точка Т - середина ребра `*`(B[1], `*`(C[1])). Известно, что AB = 9, AD = 6, AA[1] = 14.
А
:: В каком отношении плоскость ETD[1] делит ребро BB[1]?
Б :: Найдите угол между плоскостью ETD[1] и плоскостью `*`(AA[1], `*`(B[1])).


11 На ребре AA[1] прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что `*`(A[1], `*`(E)); -1; EA = 5; -1; 3, на ребре BB[1] - точка F так, что `*`(B[1], `*`(F)); -1; FB = 5; -1; 11, а точка T - середина ребра `*`(B[1], `*`(C[1])). Известно, что AB = `+`(`*`(6, `*`(sqrt(2)))), AD = 10, AA[1] = 16 .
А
:: Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D[1].
Б :: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .


12 На ребре AA[1] прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что `*`(A[1], `*`(E)); -1; EA = 6; -1; 1, на ребре BB[1] - точка F так, что `*`(B[1], `*`(F)); -1; FB = 3; -1; 4, а точка T - середина ребра `*`(B[1], `*`(C[1])). Известно, что AB = `+`(`*`(4, `*`(sqrt(2)))), AD = 30, AA[1] = 35 .
А
:: Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D[1].
Б :: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .


13 В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AA[1] = 5, AB = 12, AD = 8. Точка K — середина ребра `*`(C[1], `*`(D[1])).
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости `*`(AA[1], `*`(K)) с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК.
Б :: Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.


14 В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AA[1] = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — середина ребра `*`(C[1], `*`(D[1])).
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости `*`(AA[1], `*`(K)) с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК.
Б :: Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.


15 В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1, известны AB = 1, `and`(AD = AA[1], AA[1] = 2). Найдите угол между прямой AB[1] и плоскостью ABC[1].

16 В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямой AB[1] и плоскостью ABC[1].

03
ПРАВИЛЬНАЯ 3-ПРИЗМА


17 В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 ребро основания AB = `+`(`*`(7, `*`(sqrt(3)))) , а боковое ребро AA[1] = 8.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями `*`(BCA[1], `*`(8, `*`(BB[1], `*`(C[1])))).


18 В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 ребро основания AB = `+`(`*`(8, `*`(sqrt(3)))) , а боковое ребро AA[1] = 7.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями BCA[1] и `*`(BB[1], `*`(C[1])).


19 В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC[1].
А
:: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB[1] .
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и  ADB[1].


20 В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC[1].
А
:: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB[1].
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и  ADB[1].


21 В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1, все рёбра равны 1.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости ABB[1] и плоскости, проходящей через точки C, C[1] перпендикулярно плоскости ACC[1].
Б :: Найдите косинус угла между прямыми AB[1] и BC[1].


22 Все рёбра правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки М и N - середины рёбер `*`(AA[1], `*`(8, `*`(A[1], `*`(C[1])))) соответственно.
А
:: Докажите, что прямые ВМ и MN  перпендикулярны.
Б :: Найдите угол между плоскостями BMN и ABB[1].


23 В основании правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1  лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра `*`(A[1], `*`(C[1])) .
А :: Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
Б :: Найдите периметр этого сечения.


24 В основании правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1  лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра `*`(A[1], `*`(C[1])) .
А :: Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
Б :: Найдите периметр этого сечения.


04
3-ПРИЗМА


25 Основанием прямой треугольной призмы
ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р — середина ребра BB[1].
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно АС.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C[1]))) и АСР.


26 Основанием прямой треугольной призмы
ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру BB[1], причём BP; -1; PB[1] = 1; -1; 3.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно АС.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C[1]))) и АСР.


27 Основанием прямой призмы
ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ = 5 и катетом BC = sqrt(5) . Высота призмы равна sqrt(3) . Найдите угол между прямой `*`(C[1], `*`(B)) и плоскостью ABB[1] .
05 ПРАВИЛЬНАЯ 4-ПРИЗМА
 
28+ В правильной четырёхугольной призме
ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA[1] отмечена точка Е так, что AE; -1; EA[1] = 1; -1; 2.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED[1].
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и BED[1].


29 В правильной четырёхугольной призме
ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA[1] отмечена точка Е так, что AE; -1; EA[1] = 1; -1; 3.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED[1].
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и BED[1].


30 В правильной четырехугольной призме
ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро AA[1] = 1. Точка F принадлежит ребру `*`(C[1], `*`(D[1])) и делит его в отношении 2:1, считая от вершины C[1] . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F.

06
ПРЯМАЯ 4-ПРИЗМА

31 ДОСРОЧНЫЙ Основанием прямой четырехугольной призмы
ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной `+`(`*`(3, `*`(sqrt(2)))), высота призмы равна `+`(`*`(2, `*`(sqrt(7)))). Точка K — середина ребра BB[1]. Через точки K и C[1], проведена плоскость α. параллельная прямой BD[1].
А
:: Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
Б :: Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.


32 Основание прямой четырёхугольной призмы
ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD = sqrt(31). Расстояние между прямыми АС и `*`(B[1], `*`(D[1])) равно 5.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости `*`(BB[1], `*`(D[1], `*`(D))) с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD[1].
Б :: Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD[1] и плоскостью основания призмы.


33 Основание прямой четырёхугольной призмы
ABCDA1B1C1D1 - прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = sqrt(33) . Расстояние между прямыми `*`(A[1], `*`(C[1], `*`(8, `*`(BD)))) равно sqrt(3) .
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости `*`(BB[1], `*`(DD[1])) с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD[1].
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BDi, и плоскостью основания призмы.


34 Основание прямой четырёхугольной призмы
ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = sqrt(11) . Расстояние между прямыми АС и `*`(B[1], `*`(D[1])) равно 12.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости `*`(BB[1], `*`(DD[1])) с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD[1].
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD[1], и плоскостью основания призмы.


35 В основании прямой призмы
ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 4, а высота призмы равна sqrt(17) . Точка Е лежит на диагонали BD[1], причём BE = 1.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью `*`(A[1], `*`(C[1], `*`(E))).
Б :: Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC.


36 В основании прямой призмы
ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна sqrt(17) . Точка Е лежит на диагонали BD[1], причём BE = 2.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью `*`(A[1], `*`(C[1], `*`(E))).
Б :: Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC.


37 В основании прямой призмы
ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 3, а высота призмы равна sqrt(7). Точка Е лежит на диагонали BD[1], причём BE = 1.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью `*`(A[1], `*`(C[1], `*`(E))).
Б :: Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC.


07
ПРАВИЛЬНАЯ 6-ПРИЗМА: СЕЧЕНИЕ И РАССТОЯНИЕ

38+ В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 2.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, `*`(A[1], `*`(8, `*`(F[1]))) .
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой `*`(A[1], `*`(F[1])) .


39 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки C, A[1], F[1].
Б :: Найдите расстояние от точки С до прямой `*`(A[1], `*`(F[1])).


40 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, A[1], D[1] .
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой `*`(A[1], `*`(D[1])).


41 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, C[1], D .
Б :: Найдите расстояние от точки А до прямой `*`(C[1], `*`(D)).


42 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки F[1], A, C .
Б :: Найдите расстояние от точки F[1] до прямой АС.


43 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, C[1], F .
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой `*`(C[1], `*`(F)).


44 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 3.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D, `*`(A[1], `*`(8, `*`(B[1]))) .
Б :: Найдите расстояние от точки D до прямой `*`(A[1], `*`(B[1])).


45 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2.
А
:: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, `*`(C, `*`(8, `*`(D[1])))
Б :: Найдите площадь сечения, проходящего через точки A, `*`(C, `*`(8, `*`(D[1]))).


46 В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра равны 1.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости `*`(AA[1], `*`(DD[1])) с плоскостью, проходящей через точки D, B[1], F[1].
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и  `*`(D, `*`(B[1], `*`(F[1]))).


08
ПРАВИЛЬНАЯ 3-ПИРАМИДА

47+ В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.
А
:: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.


48 В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = AL = 4.
А
:: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.


49 В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = LM = 4.
А
:: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.


50 В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LA = 2.
А
:: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.


51+ В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка Р делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.
А
:: Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямей BS.
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой NP.


52 В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка М — середина ребра ВС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости MCF с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно прямой ВС.
Б :: Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.


53 В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М — середина ребра АВ, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.
А
:: Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
Б :: Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.


54 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все рёбра равны 6.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины рёбер АВ и ВС.
Б :: Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.


09
3-ПИРАМИДА

55 В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2 и BE = 1.
А
:: Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.


56 В пирамиде SABC известны длины ребер: АВ = АС = SB = SC = 10, ВС = SA = 12.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите расстояние между прямыми SA и ВС.


57 Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(5)))), `and`(AB = AC, AC = 10), BC = `+`(`*`(4, `*`(sqrt(5)))).


58 Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если  SA = sqrt(5), `and`(AB = AC, AC = 5), BC = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(5)))) .


10
ПРАВИЛЬНАЯ 4-ПИРАМИДА

59+ В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что SM = 6.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, C, и M.
Б :: Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.


60 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что AM = 6.
А
:: Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.
Б :: Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.


61 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.
Б :: Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.


62 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
Б :: Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.


63 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра SB, G — середина ребра SC.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
Б :: Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.


64+ Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
Б :: Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.


65+ Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
А
:: Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.


66 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенc угла между прямыми BL и SA равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(`/`(2, 5))))) .
А
:: Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.
Б :: Найдите площадь поверхности пирамиды.


67 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен `+`(`*`(2, `*`(sqrt(`/`(2, 17))))) .
А
:: Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.
Б :: Найдите площадь поверхности пирамиды.


68 Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны `+`(`*`(5, `*`(sqrt(2)))) . Точка L - середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен sqrt(2).
А
:: Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.
Б :: Найдите высоту данной пирамиды.


11
4-ПИРАМИДА

69+ В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 6. Peбpo SA имеет длину 16 и перпендикулярно плоскости основания. Точка Р - середина ребра SA.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью ВСР.
Б :: Найдите плошадь этого сечения.


70+ В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 12. Peбpo SA имеет длину 10 и перпендикулярно плоскости основания. Точка Р - середина ребра SA.
А
:: Постройте сечение пирамиды плоскостью ВСР.
Б :: Найдите плошадь этого сечения.


71 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM = 6.
А
:: Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.
Б :: Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.


12
ПРАВИЛЬНАЯ 6-ПИРАМИДА

72 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковые рёбра равны 2, а стороны основания - 1,
А
:: Докажите, что плоскость, проходящая через вершину S и середины рёбер AF и CD перпендикулярна плоскости основания.
Б :: Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.


13
МНОГОГРАННИК

73 На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.
А
:: Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки A, `*`(B, `*`(8, `*`(C[1]))).
Б :: Найдите площадь этого сечения.
Image


14
ЦИЛИНДР И ЕГО СЕЧЕНИЕ

74 Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно `+`(`*`(7, `*`(sqrt(10)))) .
А
:: Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
Б :: Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.


75 Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно `+`(`*`(2, `*`(sqrt(197)))) .
А
:: Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
Б :: Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.


76 Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно sqrt(730) .
А
:: Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
Б :: Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.


77 Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
А
:: Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
Б :: Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.


15
КОНУС И ЕГО СЕЧЕНИЕ

78+ Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки А и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2.
А
:: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.
Б :: Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.


79 Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3.
А
:: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки A, B и P.
Б :: Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.


80 Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5.
А
:: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки A, B и P.
Б :: Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.


81 Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
А
:: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
Б :: Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.


16
ШАР И ЕГО СЕЧЕНИЯ

82 Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9π.
А
:: Постройте эти сечения.
Б :: Найдите площадь поверхности шара.


17
СФЕРА И КУБ

83+ Вокруг куба
ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 описана сфера. На ребре CC[1] взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В, и М, образует угол 15° с плоскостью ABC.
А
:: Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
Б :: Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.


84 Вокруг куба
ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре CC[1] взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 15° с плоскостью АВС.
А
:: Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
Б :: Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.


85

Вокруг единичного куба
ABCDA1B1C1D1 описана сфера. На ребре `*`(B[1], `*`(C[1])) взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки A, B, и M, образует угол 75° с плоскостью АВС.
А
:: Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
Б :: Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.

C2 ЕГЭ 2014

09.07.2014 » РЕАЛ » ВОЛНА »

Решение задачи C2 ЕГЭ

19.06.2014 » РЕАЛ » РЕЗЕРВ »

Решение

05.06.2014 » РЕАЛ » ЗАПАД »

Решение задачи C2 ЕГЭ

triangular pyramid with edge length 8, height (8/3)*sqrt(33)

triangle with vertices (4,0,0),(-4,0,0),(0, 4sqrt3/3,8sqrt33/3) and triangle with vertices (4,0,0),(0,4sqrt3,0),(0, 4sqrt3/3,8sqrt33/3)

Решение

triangular pyramid with base edge length 6, height 2*sqrt(22)

Решение

triangular pyramid with base edge length 6, height 2*sqrt(13)

Решение

triangular pyramid with base edge length 6, height 2*sqrt(6)

05.06.2014 » РЕАЛ » ВОСТОК »

Решение задачи C2 ЕГЭ

Решение

triangle (3,0,0),(3,sqrt27,0),(3,sqrt27,sqrt85) and triangle (-3,0,0),(3,sqrt27,sqrt85),(3,0,0)

08.05.2014 » ДОСРОЧНЫЙ » РЕЗЕРВ »

Решение задачи C2 ЕГЭ

triangular pyramid with height sqrt13/5, base 1

Решение задачи C2 ЕГЭ

equilateral triangular pyramid with height 6sqrt15, base 1

28.04.2014 » ДОСРОЧНЫЙ »

Решение задачи C2 ЕГЭ

cone with radius 6, height 3sqrt5 and triangle (-6,0,0),(0,-6,0),(0,0,3sqrt5)

cone with radius 6, height 3sqrt5 and plane (-6,0,0),(0,-6,0),(0,0,3sqrt5)

Решение задачи C2 ЕГЭ

green cone with radius 6, height 3sqrt5 and triangle (0,-6,0),(-3sqrt3,-3,0),(0,0,3sqrt5)

Решение задачи C2 ЕГЭ

cone with radius 8, height sqrt17 and triangle (0,-8,0),(-8,0,0),(0,0,sqrt17)

Решение задачи C2 ЕГЭ

Решение задачи C2 ЕГЭ

cone with radius 6, height 3sqrt5 and triangle (-6,0,0),(0,-6,0),(0,0,3sqrt5)

19.05.2014 » ТРЕНИНГ » ДЕМОН » 7 »

Решение задачи C2 ЕГЭ

Решение задачи C2 ЕГЭ

22.04.2014 » ТРЕНИНГ » ДЕМОН » 6 »

Решение задачи C2 ЕГЭ

Решение задачи C2 ЕГЭ

13.03.2014 » ДИАГНОЗ » ДЕМОН » 5 »

Решение задачи C2 ЕГЭ

Решение задачи C2 ЕГЭ

 
 

Назад

Индекс

Вперед



Сайт самостоятельной студенческой работы

Рейтинг@Mail.ru
Рейтинг@Mail.ru