Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

Профильный уровень ЕГЭ 2015 с Wolfram|Alpha :: Задание 21


РЕАЛ 01 ТЕСТ


01 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 21. Комбинаторика


02 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 21. Комбинаторика


РЕАЛ 02 ДОСКА


03 ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 21. Комбинаторика



ПОДГОТОВКА К ЕГЭ


01 ДОСКА


01+ На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
А
:: Сколько чисел написано на доске?
Б
:: Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
В :: Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 


02
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
А
:: Сколько чисел написано на доске?
Б
:: Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
В :: Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 


03
На доске написано более 45, но менее 63 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −9.
А
:: Сколько чисел написано на доске?
Б
:: Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
В :: Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 


04
На доске написано более 50, но менее 60 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.
А
:: Сколько чисел написано на доске?
Б
:: Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
В :: Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 


05
На доске написано более 55, но менее 65 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 15, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5.
А
:: Сколько чисел написано на доске?
Б
:: Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
В :: Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 


06 ДОСРОЧНЫЙ
На доске написано несколько двузначных натуральных чисел, не содержащих нулей. Сумма этих чисел равна 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, 23 заменили на число 32).
А
:: Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся после перестановки цифр чисел ровно в 3 раза меньше суммы исходных чисел
Б
:: Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше суммы исходных чисел?
В :: Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.  


07 ДОСРОЧНЫЙ
На доске записано несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел (без нулей в десятичной записи). Сумма чисел равна 264. Затем в каждом числе меняют цифры местами (например, вместо 17 пишут 71) и складывают полученные числа.
А
:: Приведите пример первоначальных чисел, таких, что вторая сумма в 4 раза больше первой.
Б
:: Может ли вторая сумма быть ровно в 2 раза больше первой?
В :: Найдите наибольшее значение, которое может принимать вторая сумма. 


08 ДОСРОЧНЫЙ
На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
А
:: Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?
Б
:: Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
В :: Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске? 

Досрочный ЕГЭ 2015 Профильный уровень. 21. Логика


02
ОКРУЖНОСТЬ 


09
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
А
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
Б
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
В :: Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целогочисла  k  можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ? 


10
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 33 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
А
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 17?
Б
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 16?
В :: Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целогочисла  k  можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ? 


11
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 15 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
А
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
Б
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 7?
В :: Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целогочисла k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ? 


12
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 7 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
А
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
Б
:: Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
В :: Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k? 


03
КАРТОЧКИ 


13+
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
А
:: Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.
Б
:: Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?
В :: Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей? 


14+
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
А
:: Может ли в результате получиться 0?
Б
:: Может ли в результате получиться 1?
В :: Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 


15
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел чисел -1, 2, 4, -6, 7, -8, -10, 12. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
А
:: Может ли в результате получиться 0?
Б
:: Может ли в результате получиться 1?
В :: Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 


16
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
А
:: Может ли в результате получиться 0?
Б
:: Может ли в результате получиться 1?
В :: Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 


04
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 


17
Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трёх различных чисел этого набора.
А
:: Может ли одним из этих чисел быть число 3000?
Б
:: Может ли одним из этих чисел быть число 16?
В :: Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора? 


18
Десятичная запись натурального числа n должна состоять из различных (не менее двух) цифр одной чётности, а само оно должно быть квадратом целого числа. Найдите все такие n. 


19
Ученик должен был умножить двузначное число на трёхзначное и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и трёхзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в два раза больше истинного. Найдите все три числа. 


20
Ученик должен был умножить двузначное число на трёхзначное и разделить их произведение на четырёхзначное. Однако он не заметил знака умножения и принял записанные рядом двузначное и трёхзначное числа за одно пятизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в семь раз больше истинного. Найдите все три числа. 


05
СТЕПЕНЬ 


21
Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел `^`(2, 50) и `^`(5, 50). Сколько всего цифр выписали? 


22
Первый набор чисел состоит из чисел 2, 4, 8, ... , `^`(2, 10). Второй набор состоит из чисел 3, 9, 27, ... , `^`(3, 10). Числа разбили на пары. В каждой паре на первом месте — число из первого набора, а на втором — какое-то число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили. Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы. 


23
Найдите все такие натуральные n, что при вычеркивании первой цифры у числа `^`(4, n) снова получается число, являющееся натуральной степенью числа 4. 


06
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ 


24+
Пусть q - наименьшее обшее кратное, a d - наибольший обший делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству `+`(`*`(7, `*`(x))) = `+`(`*`(16, `*`(y)), `-`(73)).
А
:: Может ли q/d быть равным 204?
Б
:: Может ли q/d быть равным 2?
В :: Найдите наименьшее значение q/d. 


25
Пусть q - наименьшее обшее кратное, a d - наибольший обший делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству `+`(`*`(3, `*`(x))) = `+`(`*`(8, `*`(y)), `-`(29)).
А
:: Может ли q/d быть равным 170?
Б
:: Может ли q/d быть равным 2?
В :: Найдите наименьшее значение q/d. 


07
ДЕЛИМОСТЬ. НОД 


26
Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида  `+`(`*`(`^`(p, 2)), `-`(1)), где p — простое число, большее 3, но меньшее 2010. 


27
Известно, что при любом целом K ≠ 27 число `+`(`-`(`*`(`^`(K, 3))), a) делится без остатка на 27 - K. Найдите a. 


28+
Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9? 


29
Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число). 


2
Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 333 нуля. На сколько нулей может оканчиваться число N? 


30
А :: Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.
Б
:: Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?
В :: Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей? 


31
А :: Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.
Б
:: Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?
В :: Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр. 


08
ПАЛИНДРОМЫ 


32+
Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.
А
:: Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 45.
Б
:: Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 45?
В :: Найдите десятое по величине число-палиндром, которое делится на 45. 


33
Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.
А
:: Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 55.
Б
:: Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 55?
В :: Найдите 13-е по величине число-палиндром, которое делится на 55. 


34
Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.
А
:: Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.
Б
:: Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
В :: Найдите 37е по величине число-палиндром, которое делится на 15. 


09
БЕСКОНЕЧНАЯ ДРОБЬ 


35+
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел a[n]. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение a[3]. 

36 Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической прогрессии a[n] = `+`(`*`(d, `*`(n)), 2)  (d — целое). Из полученной записи удалены минусы, если они есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число. 


37
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены последовательности a[n] = `+`(`*`(d, `*`(`^`(n, n))), 21) (d — целое). В результате получается рациональное число. Найдите это число. 


38
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все члены последовательности  a[n] = `^`(20, `*`(b, `*`(n))), где b — целое неотрицательное. В результате получается рациональное число. Найдите это число. 


10
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 


39
Последовательность a[1], a[2], () .. (), a[n], () .. () состоит из натуральных чисел, причём  a[`+`(n, 2)] = `+`(a[`+`(n, 1)], a[n])  при всех натуральных n.
А
:: Может ли выполняться равенство `+`(`*`(4, `*`(a[5]))) = `+`(`*`(7, `*`(a[4])))?
Б
:: Может ли выполняться равенство `+`(`*`(5, `*`(a[5]))) = `+`(`*`(7, `*`(a[4])))?
В :: При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство `+`(`*`(6, `*`(n, `*`(a[`+`(n, 1)])))) = `*`(`+`(`*`(`^`(n, 2)), 24), `*`(a[n]))  ? 


40
Последовательность a[1], a[2], () .. (), a[n], () .. () состоит из натуральных чисел, причём  a[`+`(n, 2)] = `+`(a[`+`(n, 1)], a[n])  при всех натуральных n.
А
:: Может ли выполняться равенство `+`(`*`(5, `*`(a[5]))) = `+`(`*`(9, `*`(a[4])))?
Б
:: Может ли выполняться равенство `+`(`*`(5, `*`(a[5]))) = `+`(`*`(7, `*`(a[4])))?
В :: При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство `+`(`*`(3, `*`(n, `*`(a[`+`(n, 1)])))) = `*`(`+`(`*`(`^`(n, 2)), `-`(1)), `*`(a[n]))  ? 


41
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 15 раз больше, либо в 15 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3825.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


42
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


43
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


44
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 5292.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


45
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


46
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4900.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


47
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 15 раз больше, либо в 15 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8959.
А
:: Может ли последовательность состоять из двух членов?
Б
:: Может ли последовательность состоять из трёх членов?
В :: Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 


48
Из 40 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, ..., 79 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А — четвёртое по величине среди этих чисел, а В — среднее арифметическое выбранных семи чисел.
А
:: Может ли ВА равняться 2/7?
Б
:: Может ли В А равняться 3/7?
В :: Найдите наибольшее возможное значение ВА. 


11
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 


49+
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
А
:: Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
Б
:: Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
В :: Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала? 


50
Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2014, а разность равна 13. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.
А
:: Найдите тысячное число получившейся последовательности.
Б
:: Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.
В :: Чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд? 


51+
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
А
:: Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
Б
:: Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
В :: Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала? 


12
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 


52
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 312 и
А
:: пять;
Б
:: четыре;
В :: три
из них образуют геометрическую прогрессию?
 


53
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 672 и
А
:: пять;
Б
:: четрые;
В :: три
из них образуют геометрическую прогрессию?
 


54
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и
А
:: пять;
Б
:: четрые;
В :: три
из них образуют геометрическую прогрессию?
 


55
При каком наибольшем n найдётся n семизначных чисел, являющихся последовательными членами одной геометрической прогрессии? 


13
ГРУППЫ 


56+
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/10 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5/12 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
А
:: Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
Б
:: Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
В :: Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов А и Б? 


57
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 5/16 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 7/18 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
А
:: Могло ли быть в группе 12 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
Б
:: Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
В :: Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов А и Б? 


58
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 1/3 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 7/19 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
А
:: Могло ли быть в группе 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?
Б
:: Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?
В :: Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов А и Б? 


14
ЭКСПЕРТЫ И ФИЛЬМ 


59
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
А
:: Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/30 ?
Б
:: Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/35 ?
В :: Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания. 


15
ТУРНИРЫ 


60+
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9.3, 10.5 и 12.7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
А
:: Всего проголосовало 15 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 41?
Б
:: Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?
В :: На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 3. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно? 


61
На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9.3, 10.5 и 12.7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
А
:: Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 29?
Б
:: Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трёх футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?
В :: На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно? 


62
В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0.5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
А
:: Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие три мальчика и две девочки?
Б
:: Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников десять?
В :: Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 7 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в три раза больше очков, чем девочки? 


63
В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью - 0.5 очка, за проигрыш - 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
А
:: Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?
Б
:: Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?
В :: Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки? 


16
МОТОК ВЕРЕВКИ 


64
Моток верёвки режут без остатка на куски не больше 85 см (назовём такие куски стандартными).
А
:: Некоторый моток верёвки разрезали на 16 стандартных кусков, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток верёвки?
Б
:: Найдите такое наименьшее число l, что любой моток верёвки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски. 


17
КАРАНДАШ 


65
Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.
А
:: Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?
Б
:: Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?
В :: Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях? 


66
Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.
А
:: Можно ли купить 30 карандашей?
Б
:: Можно ли купить 33 карандаша?
В :: Какое наибольшее число карандашей можно купить? 


18
УРАВНЕНИЯ 


67
Квадратный трёхчлен  f(x) = `+`(`*`(p, `*`(x)), `*`(`^`(x, 2)), q)  имеет два различных целых корня. Один из корней трёхчлена и его значение в точке x = 11 являются простыми числами. Найдите корни трёхчлена. 


68
Найдите все такие целые a  и b, что корни уравнения `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), 9), `*`(x)), `*`(3, `*`(b)), 5) = 0 являются различными целыми числами, а коэффициенты 2 a + 9 и 3b + 5 - простыми числами. 


69+
Известно, что a, b, c, и d - попарно различные двузначные числа.
А
:: Может ли выполняться равенство `/`(`*`(`+`(a, c)), `*`(`+`(b, d))) = `/`(7, 19) ?
Б
:: Может ли дробь `/`(`*`(`+`(a, c)), `*`(`+`(b, d))) быть в 11 раз меньше, чем сумма `+`(`/`(`*`(a), `*`(b)), `/`(`*`(c), `*`(d)))?
В :: Какое наименьшее значение может принимать дробь `/`(`*`(`+`(a, c)), `*`(`+`(b, d))), если `and`(`>`(a, `+`(`*`(3, `*`(b, `*`(8, `*`(c)))))), `>`(`+`(`*`(3, `*`(b, `*`(8, `*`(c))))), `+`(`*`(6, `*`(d))))) . 


70+
Известно, что a, b, c, и d - попарно различные двузначные числа.
А
:: Может ли выполняться равенство `/`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(a)), `*`(2, `*`(c)))), `*`(`+`(b, d))) = `/`(12, 19) ?
Б
:: Может ли дробь `/`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(a)), `*`(2, `*`(c)))), `*`(`+`(b, d))) быть в 11 раз меньше, чем сумма `+`(`/`(`*`(3, `*`(a)), `*`(b)), `/`(`*`(2, `*`(c)), `*`(d)))?
В :: Какое наименьшее значение может принимать дробь `/`(`*`(`+`(`*`(3, `*`(a)), `*`(2, `*`(c)))), `*`(`+`(b, d))), если `and`(`>`(a, `+`(`*`(3, `*`(b, `*`(8, `*`(c)))))), `>`(`+`(`*`(3, `*`(b, `*`(8, `*`(c))))), `+`(`*`(6, `*`(d))))) . 


71
Решите в целых числах уравнение `+`(`^`(3, n), 8) = `*`(`^`(x, 2)). 


72
Решите уравнение `+`(`^`(3, m), `^`(4, n)) = `^`(5, k) в натуральных числах. 


73
Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения n, при которых уравнение `*`(`^`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(y, 2))), 2010)) = `*`(`^`(x, n), `*`(`^`(y, n))) имеет натуральные решения.  

C6 ЕГЭ 2014

09.07.2014 » РЕАЛ » ВОЛНА »

Решение задачи C6 ЕГЭ

19.06.2014 » РЕАЛ » РЕЗЕРВ »

Решение

05.06.2014 » РЕАЛ » ЗАПАД »

Решение задачи C6 ЕГЭ

Решение задачи C6 ЕГЭ

Решение

Решение

Решение

geometric mean formula

05.06.2014 » РЕАЛ » ВОСТОК »

Решение задачи C6 ЕГЭ

Решение

08.05.2014 » ДОСРОЧНЫЙ » РЕЗЕРВ »

Решение задачи C6 ЕГЭ

-1,0,1,2,3,4,...

28.04.2014 » ДОСРОЧНЫЙ »

Решение задачи C6 ЕГЭ

Решение задачи C6 ЕГЭ

1,15,2,16,3,17,4,18,5,19,6,20,7,21,8, 22,9,23,10,24,11,25,12,26,13,27,14

1,10,19,2,11,20,3,12,21,4,13,22,5,14, 23,6,15,24,7,16,25,8,17,26,9,18,27

Решение задачи C6 ЕГЭ

7,18,8,19,9,20,10,21,11,22,12,23,13,24,14,25,15,26,16,27,17

7,14,22,8,15,21,9,16,23,10,17,24,11,18,25,12,19,26,13,20,27

Решение задачи C6 ЕГЭ

Решение задачи C6 ЕГЭ

13.03.2014 » ДИАГНОЗ » ДЕМОН » 5 »

Решение задачи C6 ЕГЭ

Решение задачи C6 ЕГЭ

 
 

Назад

Индекс

Вперед



Сайт самостоятельной студенческой работы

Рейтинг@Mail.ru
Рейтинг@Mail.ru