Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

01 На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.
А :: Докажите, что CM _L DK .
Б :: Найдите МН, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312. 

02 На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.
А :: Докажите, что CM ⊥ DK.
Б :: Найдите МН, если известно, что катеты треугольника ABC равны 30 и 40. 

03 На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.
А :: Докажите, что CM ⊥ DK .
Б :: Найдите МН, если известно, что катеты треугольника ABC равны 60 и 80. 

04 На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
А :: Докажите, что KN : NL = 2 : 1.
Б :: Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 18. 

05 На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
А :: Докажите, что KN : NL = 2 : 1.
Б :: Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 1. 

06 На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.
А :: Докажите, что KN : NL = 2 : 1.
Б :: Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 3. 

07+ Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.
А :: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б :: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 

08 Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
А :: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б :: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 

09 Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 31 соответственно.
А :: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б :: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 

10 Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 10 и 13 соответственно.
А :: Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Б :: Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. 

11 На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника. BLD с основанием BD.
А :: Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
Б :: Известно, что cos ∠ABC = 3/4. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? 

12 На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
А :: Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
Б :: Известно, что cos ∠ABC = 1/6. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? 

13 На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
А :: Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
Б :: Известно, что cos ∠ABC = 1/5. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? 

14+ В треугольнике ABC известно, что ∠ВАС = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
А :: Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
Б :: Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 12. 

15 В треугольнике ABC известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
А :: Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
Б :: Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6. 

16 В треугольнике ABC известно, что ∠ВАС = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.
А :: Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
Б :: Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 10. 

17 В остроугольном треугольнике ABC провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно.
А :: Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику ABC.
Б :: Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырёхугольника АКМС, если ВН = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4. 

18 Высоты и остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
А :: Докажите, что .
Б :: Найдите BC, если и ∠BAC = 60°. 

19 Высоты и остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
А :: Докажите, что .
Б :: Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны ВС, если . 

20+ Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки — середины отрезков МА, MB и МС соответственно.
А :: Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника АВС.
Б :: Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8. 

21+ Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
А :: Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника ABC.
Б :: Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 5, ВС = 8 и АС = 10. 

22+ Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
А :: Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Б :: Найдите сумму квадратов медиан , если известно, что АС = 10. 

23+ Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
А :: Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Б :: Найдите сумму квадратов медиан , если известно, что АС = 12. 

24 Точки и лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём . Прямые и пересекаются в точке О.
А :: Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
Б :: Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника ABC, если известно, что . 

25 Точки и лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём . Прямые и пересекаются в точке О.
А :: Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
Б :: Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника ABC, если известно, что . 

26 Точки и лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём  . Прямые и пересекаются в точке О.
А :: Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
Б :: Найдите отношение площади четырёхугольника   к площади треугольника ABC, если известно, что . 

27 На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М - середина стороны АВ.
А :: Докажите, что СМ = DK/2 .
Б :: Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 14, ВС = 16 и ∠ACB = 150°. 

28 На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина стороны АВ.
А :: Докажите, что СМ = DK/2 .
Б :: Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 10, ВС = 32 и ∠AСВ = 30°. 

29 На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М - середина стороны АВ.
А :: Докажите, что СМ = DK/2 .
Б :: Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 6, ВС = 10 и ∠ACB = 30°. 

30+ Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
А :: Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
Б :: Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? 

31 Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
А :: Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
Б :: Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? 

32 Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
А :: Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
Б :: Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? 

33+ Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка K так, что ∠BAC +∠AKC = 90°.
А :: Докажите, что четырёхугольник ОВКС вписанный.
Б :: Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника ОВКС, если cos ∠BAC = 5/13, а ВС = 72. 

34+ Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC касается его сторон АВ, АС и ВС в точках соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника .
А :: Докажите, что — биссектриса угла .
Б :: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник , если известно что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14. 

35 Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника .
А :: Докажите, что — биссектриса угла .
Б :: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник , если известно что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20. 

36 Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника  .
А :: Докажите, что — биссектриса угла
Б :: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник , если известно, что ВС = 9, АВ = 10, АС = 17 

37 Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника .
А :: Докажите, что — биссектриса угла .
Б :: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник , если известно, что ВС = 10, АВ = 17, АС = 21. 

38 Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника .
А :: Докажите, что — биссектриса угла .
Б :: Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник , если известно, что BC = 11, АВ = 13, АС = 20. 

39+ Окружность проходит через вершины В и С треугольника ABC и пересекает АВ и АС в точках и соответственно.
А :: Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику .
Б :: Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 60°, и площадь треугольника в два раза меньше плошали четырёхугольника . 

40+ Окружность проходит через вершины В и С треугольника ABC и пересекает АВ и АС в точках и соответственно.
А :: Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику .
Б :: Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 30°, и площадь треугольника в три раза меньше плошали четырёхугольника . 

41 Высоты и остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н.
А :: Докажите, что .
Б :: Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до стороны ВС , если . 

42+ Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АB угол 30° . Точка Е лежит вне прямоугольника, причём ∠ВЕС = 120°.
А :: Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.
Б :: Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что BE = 40 и СЕ = 24. 

43 Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
А :: Докажите, что ∠СBE = ∠СОЕ.
Б :: Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что BE = 21 и СЕ = 24. 

44 Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём ∠ВЕС = 120°.
А :: Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.
Б :: Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что BE = 12 и СЕ = 20. 

45 Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка Р лежит между точками D и Q. Прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВМ.
А :: Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
Б :: Известно, что СМ = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD. 

46 Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках Р и Q, причём точка Р лежит между точками D и Q. Прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВМ.
А :: Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
Б :: Известно, что СМ =17 и CD = 25. Найдите сторону AD. 

47 В параллелограмм вписана окружность.
А :: Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
Б :: Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. 

48 В параллелограмм вписана окружность.
А :: Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
Б :: Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. 

49 В параллелограмм вписана окружность.
А :: Докажите, что этот параллелограмм - ромб.
Б :: Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 4 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. 

50 Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
А :: Докажите, что ABCD - ромб.
Б :: Эта окружность пересекает сторону АВ в точке М, причём AM : MB = 1:2. Найдите диагональ АС, если известно, что . 

51 Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
А :: Докажите, что ABCD — ромб.
Б :: Эта окружность пересекает сторону АВ в точке М, причём AM : MB = 3:1. Найдите диагональ АС, если известно, что . 

52 Противоположные стороны AD и ВС четырёхугольника ABCD параллельны. Через вершины В и D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках М и N соответственно. Оказалось, что AM = MN = NC.
А :: Докажите, что ABCD - параллелограмм.
Б :: Найдите отношение площади четырёхугольника BMDN к площади параллелограмма ABCD. 

53 ДОСРОЧНЫЙ Дана равнобедренная трапеция АВCD с основаниями ВС и АD. На стороне АВ как на диаметре построена окружность с центром в точке О , касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание АD в точке H. Точка Q - середина стороны CD.
А :: Докажите, что ОQD  - параллелограмм.
Б :: Найдите АD , если ∠ВАD = 60°, ВС = 2 . 

54 Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках М и N. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках К и L соответственно.
А :: Докажите, что МК = NL.
Б :: Найдите MN, если известно, что ВС = 10, AD = 18 и МК : KL = 1:2. 

55 Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках М и N. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках К и L соответственно.
А :: Докажите, что МК = NL.
Б :: Найдите MN, если известно, что ВС = 6, AD = 9  и  МК : KL =1:2. 

56 Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках М и N. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны ОА и OD треугольника AOD в точках К и L соответственно.
А :: Докажите, что МК = NL.
Б :: Найдите MN, если известно, что ВС = 3, AD = 8 и МК : KL = 1:3. 

57 Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.
А :: Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC .
Б :: Найдите расстояние от точки T до прямой BC , если основания трапеции AB и CD равны 1 и 25 соответственно. 

58 Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.
А :: Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC .
Б :: Найдите расстояние от точки T до прямой BC , если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно. 

59 Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А :: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б :: Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 

60 Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А :: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б :: Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 

61 Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А :: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б :: Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 

62 Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А :: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б :: Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 

63 Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
А :: Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
Б :: Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. 

64 Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
А :: Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
Б :: Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 4 и 36. 

65+ Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А :: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б :: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 5 и АН = 4. 

66 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А :: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б :: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 6 и АН = . 

67 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А :: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б :: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 5 и АН = 3. 

68 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А :: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б :: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 3 и АН = . 

69 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.
А :: Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
Б :: Найдите площадь четырёхугольника ABCD если известно, что АВ = 4 и АН = . 

70 Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины А опущены перпендикуляры AF, АН, АР и AQ на прямые DE, BE, CD и ВС соответственно.
А :: Докажите, что ∠FAH = ∠PAQ.
Б :: Найдите АН, если AF = a, АР = b и AQ = с. 

71 ДОСРОЧНЫЙ К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках М и N соответственно.
А :: Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата
Б :: Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. Найдите отношение, в котором делится сторона ВС прямой, проходящей через точку Р и центр окружности, если известно, что AM : MB = 1 : 2.  

72 Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром также вписана в этот угол и проходит через точку О.
А :: Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
Б :: Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен . 

73 Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром также вписана в этот угол и проходит через точку О.
А :: Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
Б :: Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен . 

74 Окружность с центром О вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром также вписана в этот угол и проходит через точку О.
А :: Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
Б :: Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен . 

75 ДОСРОЧНЫЙ Окружность, построенная на медиане ВМ равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, кторой раз пересекает основание ВС в точке K.
А :: Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
Б :: Пусть указанная окружность пересекает сторону AB а точке N. Найдите АВ, селя BK = 18 и BN = 17. 

76 Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках и соответственно.
А :: Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.
Б :: Найдите радиус данной окружности, если и площадь треугольника AB₁C₁ в три раза меньше площади четырёхугольника . 

77 Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
А :: Докажите, что эти хорды равны.
Б :: Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен . 

78 Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
А :: Докажите, что эти хорды равны.
Б :: Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен . 

79+ Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А :: Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б :: Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2. 

80 Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А :: Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б :: Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1. 

81 Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
А :: Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
Б :: Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2. 

82 Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая АВ касается первой окружности в точке A, а второй - в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
А :: Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
Б :: Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.