Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

РЕАЛ 01 ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА

01

02

03

04

РЕАЛ 02 ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА

05

06

07

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

01 КУБ


01+ Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ .
А :: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, и .
Б :: Найдите угол между плоскостями

02 Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
А :: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите угол между плоскостями .

03 Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
А :: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер .
Б :: Найдите угол между плоскостью и плоскостью, проходящей через середины рёбер .

04 Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
А :: Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите угол между прямой и плоскостью .

05 Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
А :: Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
Б :: Найдите угол между плоскостями и .

06 Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
А :: Докажите, что прямая перпендикулярна, плоскости .
Б :: Найдите угол между плоскостями и .

07 ДОСРОЧНЫЙ В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На отрезке отмечена точка K так, что KB равно 3. Через точки K и проведена плоскость α , параллельная прямой .
А :: Докажите, что , где Р - точка пересечения плоскости α с ребром .
Б :: Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .


08 ДОСРОЧНЫЙ Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. На отрезке отмечена точка K так, что KB равно 3. Через точки K и проведена плоскость α , параллельная прямой .
А :: Докажите, что , где Р - точка пересечения плоскости α с ребром .
Б :: Найдите угол наклона плоскости α к грани .

02 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД


09+ На ребре прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Е так, что . Точка Т - середина ребра . Известно, что .
А :: В каком отношении плоскость делит ребро ?
Б :: Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

10+ На ребре прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка Е так, что . Точка Т - середина ребра . Известно, что .
А :: В каком отношении плоскость делит ребро ?
Б :: Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

11 На ребре прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что , на ребре - точка F так, что , а точка T - середина ребра . Известно, что .
А :: Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину .
Б :: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

12 На ребре прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что , на ребре - точка F так, что , а точка T - середина ребра . Известно, что .
А :: Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину .
Б :: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

13 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины ребер: . Точка K — середина ребра .
А :: Постройте прямую пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК.
Б :: Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

14 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины ребер: . Точка K — середина ребра .
А :: Постройте прямую пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК.
Б :: Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

15 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, известны . Найдите угол между прямой и плоскостью .

16 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямой и плоскостью .

03 ПРАВИЛЬНАЯ 3-ПРИЗМА


17 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ ребро основания , а боковое ребро .
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями .

18 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ ребро основания , а боковое ребро .
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями и .

19 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра .
А :: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и .
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и  .

20 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра .
А :: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и .
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и  .

21 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра равны 1.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости и плоскости, проходящей через точки C, перпендикулярно плоскости .
Б :: Найдите косинус угла между прямыми и .

22 Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки М и N - середины рёбер соответственно.
А :: Докажите, что прямые ВМ и MN  перпендикулярны.
Б :: Найдите угол между плоскостями BMN и .

23 В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁  лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра .
А :: Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
Б :: Найдите периметр этого сечения.

24 В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁  лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра .
А :: Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
Б :: Найдите периметр этого сечения.

04 3-ПРИЗМА


25 Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р — середина ребра .
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно АС.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями и АСР.

26 Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру , причём .
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно АС.
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями и АСР.

27 Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ = 5 и катетом . Высота призмы равна . Найдите угол между прямой и плоскостью .
05 ПРАВИЛЬНАЯ 4-ПРИЗМА
 
28+ В правильной четырёхугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка Е так, что .
А :: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и .
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и .

29 В правильной четырёхугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре отмечена точка Е так, что .
А :: Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и .
Б :: Найдите угол между плоскостями ABC и .

30 В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 6, а боковое ребро . Точка F принадлежит ребру и делит его в отношении 2:1, считая от вершины . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F.

06 ПРЯМАЯ 4-ПРИЗМА

31 ДОСРОЧНЫЙ Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K — середина ребра . Через точки K и , проведена плоскость α. параллельная прямой .
А :: Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
Б :: Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

32 Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD = . Расстояние между прямыми АС и равно 5.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой .
Б :: Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой и плоскостью основания призмы.

33 Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = . Расстояние между прямыми равно .
А :: Постройте прямую пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой .
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BDi, и плоскостью основания призмы.

34 Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, . Расстояние между прямыми АС и равно 12.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой .
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой , и плоскостью основания призмы.

35 В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 4, а высота призмы равна . Точка Е лежит на диагонали , причём BE = 1.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью .
Б :: Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC.

36 В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна . Точка Е лежит на диагонали , причём BE = 2.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью .
Б :: Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC.

37 В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 3, а высота призмы равна . Точка Е лежит на диагонали , причём BE = 1.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью .
Б :: Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC.

07 ПРАВИЛЬНАЯ 6-ПРИЗМА: СЕЧЕНИЕ И РАССТОЯНИЕ

38+ В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра которой равны 2.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой .

39 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки С до прямой .

40 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой .

41 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки А до прямой .

42 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки до прямой АС.

43 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой .

44 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 3.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите расстояние от точки D до прямой .

45 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 2.
А :: Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки
Б :: Найдите площадь сечения, проходящего через точки .

46 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра равны 1.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и  .

08 ПРАВИЛЬНАЯ 3-ПИРАМИДА

47+ В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.
А :: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

48 В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = AL = 4.
А :: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

49 В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = LM = 4.
А :: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

50 В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LA = 2.
А :: Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

51+ В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка Р делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.
А :: Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямей BS.
Б :: Найдите расстояние от точки В до прямой NP.

52 В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка М — середина ребра ВС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости MCF с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно прямой ВС.
Б :: Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

53 В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М — середина ребра АВ, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.
А :: Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
Б :: Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.

54 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все рёбра равны 6.
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины рёбер АВ и ВС.
Б :: Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

09 3-ПИРАМИДА

55 В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2 и BE = 1.
А :: Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

56 В пирамиде SABC известны длины ребер: АВ = АС = SB = SC = 10, ВС = SA = 12.
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите расстояние между прямыми SA и ВС.

57 Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если .

58 Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б :: Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если   .

10 ПРАВИЛЬНАЯ 4-ПИРАМИДА

59+ В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что SM = 6.
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, C, и M.
Б :: Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.

60 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что AM = 6.
А :: Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.
Б :: Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.

61 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.
Б :: Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

62 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.
А :: Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
Б :: Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

63 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра SB, G — середина ребра SC.
А :: Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
Б :: Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

64+ Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
Б :: Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.

65+ Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
А :: Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
Б :: Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

66 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенc угла между прямыми BL и SA равен .
А :: Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.
Б :: Найдите площадь поверхности пирамиды.

67 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен .
А :: Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.
Б :: Найдите площадь поверхности пирамиды.

68 Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны . Точка L - середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен .
А :: Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.
Б :: Найдите высоту данной пирамиды.

11 4-ПИРАМИДА

69+ В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 6. Peбpo SA имеет длину 16 и перпендикулярно плоскости основания. Точка Р - середина ребра SA.
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью ВСР.
Б :: Найдите плошадь этого сечения.

70+ В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 12. Peбpo SA имеет длину 10 и перпендикулярно плоскости основания. Точка Р - середина ребра SA.
А :: Постройте сечение пирамиды плоскостью ВСР.
Б :: Найдите плошадь этого сечения.

71 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM = 6.
А :: Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.
Б :: Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.

12 ПРАВИЛЬНАЯ 6-ПИРАМИДА

72 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковые рёбра равны 2, а стороны основания - 1,
А :: Докажите, что плоскость, проходящая через вершину S и середины рёбер AF и CD перпендикулярна плоскости основания.
Б :: Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

13 МНОГОГРАННИК

73 На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.
А :: Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки .
Б :: Найдите площадь этого сечения.


14 ЦИЛИНДР И ЕГО СЕЧЕНИЕ

74 Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно .
А :: Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
Б :: Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

75 Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно .
А :: Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
Б :: Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

76 Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно .
А :: Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
Б :: Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

77 Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
А :: Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
Б :: Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

15 КОНУС И ЕГО СЕЧЕНИЕ

78+ Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки А и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2.
А :: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.
Б :: Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

79 Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3.
А :: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки A, B и P.
Б :: Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

80 Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5.
А :: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки A, B и P.
Б :: Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

81 Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
А :: Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
Б :: Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

16 ШАР И ЕГО СЕЧЕНИЯ

82 Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9π.
А :: Постройте эти сечения.
Б :: Найдите площадь поверхности шара.

17 СФЕРА И КУБ

83+ Вокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 описана сфера. На ребре взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В, и М, образует угол 15° с плоскостью ABC.
А :: Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
Б :: Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

84 Вокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 3 описана сфера. На ребре взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 15° с плоскостью АВС.
А :: Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
Б :: Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.

85
Вокруг единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ описана сфера. На ребре взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки A, B, и M, образует угол 75° с плоскостью АВС.
А :: Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
Б :: Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.

09.07.2014 » РЕАЛ » ВОЛНА »

19.06.2014 » РЕАЛ » РЕЗЕРВ »

05.06.2014 » РЕАЛ » ЗАПАД »

triangular pyramid with edge length 8, height (8/3)*sqrt(33)

triangle with vertices (4,0,0),(-4,0,0),(0, 4sqrt3/3,8sqrt33/3) and triangle with vertices (4,0,0),(0,4sqrt3,0),(0, 4sqrt3/3,8sqrt33/3)

triangular pyramid with base edge length 6, height 2*sqrt(22)

triangular pyramid with base edge length 6, height 2*sqrt(13)

triangular pyramid with base edge length 6, height 2*sqrt(6)

05.06.2014 » РЕАЛ » ВОСТОК »

triangle (3,0,0),(3,sqrt27,0),(3,sqrt27,sqrt85) and triangle (-3,0,0),(3,sqrt27,sqrt85),(3,0,0)

08.05.2014 » ДОСРОЧНЫЙ » РЕЗЕРВ »

triangular pyramid with height sqrt13/5, base 1

equilateral triangular pyramid with height 6sqrt15, base 1

28.04.2014 » ДОСРОЧНЫЙ »

cone with radius 6, height 3sqrt5 and triangle (-6,0,0),(0,-6,0),(0,0,3sqrt5)

cone with radius 6, height 3sqrt5 and plane (-6,0,0),(0,-6,0),(0,0,3sqrt5)

green cone with radius 6, height 3sqrt5 and triangle (0,-6,0),(-3sqrt3,-3,0),(0,0,3sqrt5)

cone with radius 8, height sqrt17 and triangle (0,-8,0),(-8,0,0),(0,0,sqrt17)

cone with radius 6, height 3sqrt5 and triangle (-6,0,0),(0,-6,0),(0,0,3sqrt5)

19.05.2014 » ТРЕНИНГ » ДЕМОН » 7 »

22.04.2014 » ТРЕНИНГ » ДЕМОН » 6 »

13.03.2014 » ДИАГНОЗ » ДЕМОН » 5 »