Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

2015 БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ 04 

ТРЕБОВАНИЯ
Уметь выполнять вычисления и преобразования
1.2   Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования
ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ 

1.4.1  Преобразования выражений, включающих арифметические операции
1.4.2  Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

 

01 ЦЕЛЬСИЙ И ФАРЕНГЕЙТ

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсии в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1.8 t_C + 32 , где t_C - температура в градусах по шкале Цельсия,
t_F - температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует −1 градус по шкале Цельсия?

02 ФАРЕНГЕЙТ И ЦЕЛЬСИЙ

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула
t_C = 5 ( t_F  ̶  32 ) / 9 , где t_C - температура в градусах по шкале Цельсия,
t_F - температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 68 градусов по шкале Фаренгейта?

03 СТОИМОСТЬ КОЛОДЦА

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100 n, где n - число колец, установленных при копании колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец. Ответ укажите в рублях.

04 ДОСРОЧНЫЙ СТОИМОСТЬ ПОЕЗДКИ

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле C = 150 +11 (t  − 5), где t — длительность поездки, выраженная в минутах (t > 5). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки. Ответ укажите в рублях.

05 ДЛИНА ШАГА

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = n l, где n - число шагов, l - длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ дайте в метрах.

06 ЗАКОН ГУКА

Закон Гука можно записать в виде f = k x, где f - сила (в ньютонах), с которой сжимают пружину, x - абсолютное удлинение (сжатии) пружины (в метрах), a k - коэффициент упругости. Пользуясь этой формулой, найдите x (в метрах), если  f  = 35 Н и k = 7 Н/м.

07 ЗАКОН НЬЮТОНА

Второй закон Ньютона можно записать в виде f = m a, где где f - сила (в ньютонах), действующая на тело, m - его масса (в килограммах), a - ускорение, с которым движется тело (в м/c²). Найдите m (в килограммах), если f = 195 Н и a = 39 м/c² .

08 ВЫСОТА

Найдите h из равенства Е = mgh, если g = 9.8, m = 5, а Е = 4.9.

09 МАССА

Найдите m из равенства E = m v²/2, если v = 3 и Е = 54 .

10 УСКОРЕНИЕ ТЕЛА

Ускорение тела (в м/c²) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле α = ω² R, где ω - угловая скорость вращения (в c^-1), a R - радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите а (в м/c²),
если R = 4 м и  ω = 7 c^-1 .

11 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле E = m v²/2 , где m - масса тела (в килограммах), a v - его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите Е (в джоулях), если v = 4 м/с и m = 10 кг.

12 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле Е = m g h где где m - масса тела (в килограммах) , g - гравитационная постоянная, a h - высота (в метрах), на которой находится это тело, относительно условного нуля. Пользуясь этой формулой, найдите m (в килограммах), если g = 9.8 м/c² , h = 2 м, а Е = 98 Дж.

13 КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле Q = c m ( t₂  ̶  t₁ ), где c - удельная теплоемкость ( в Дж/(кг·К)), m - масса тела (в кг), t₁ - начальная температура тела (в кельвинах), а t₂ - конечная температура тела (в кельвинах). Пользуясь этой формулой, найдите Q (в джоулях), если t₂ = 509 К, с = 400 Дж/(кг·К) , m = 2 кг и t₁ = 505 К.

14 МОЩНОСТЬ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЕ

Мощность постоянного тока, (в ваттах) вычисляется по формуле P = U ²/ R, где U - напряжение (в вольтах), R - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите Р (в ваттах), если R = 7 Ом и U = 14 А.

15 МОЩНОСТЬ И СИЛА ТОКА

Мощность постоянного тока, (в ваттах) вычисляется по формуле P = I ² R , где I - сила тока (в амперах), R - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите Р (в ваттах), если R = 12 Ом и I = 3.5 А.

16 МОЩНОСТЬ ТОКА И СОПРОТИВЛЕНИЕ

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I ² R, где  I - сила тока (в амперах), R - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 96 Вт, а сила тока равна 4 А.

17 РАБОТА ПОСТОЯННОГО ТОКА И САМ ТОК

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле A = I ² R t , где I - сила тока (в амперах), R - сопротивление (в омах), t - время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если t = 2 c, I = 6 А и R = 5 Ом.

18 РАБОТА ПОСТОЯННОГО ТОКА И НАПРЯЖЕНИЕ

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле A = U ² t /R  , где U - напряжение (в вольтах), R - сопротивление (в омах), t - время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если t = 8 c, U = 6 В и R = 2 Ом.

19 СУММА ДЕЛИТЕЛЕЙ

Если p₁, p₂, p₃ - различные простые числа, то сумма всех делителей числа p₁· p₂· p₃ равна ( p₁ + 1) ( p₂ + 1) ( p₃ + 1 ). Найдите сумму всех делителей числа 130 = 2·5·13.

20 СУММА КВАДРАТОВ ЧИСЕЛ

Известно, что 1² + 2² + 3² + ... + n² = n ( n + 1 ) (2 n + 1) / 6 .
Найдите сумму  1² + 2² + 3² + ... + 30².

21 СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

Среднее геометрическое трёх чисел a, b и с вычисляется по формуле g = ( a b c )^1/3. Найдите среднее геометрическое чисел 2, 4, 27.

22 СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ

Среднее квадратичное трёх чисел a, b и с вычисляется по формуле
 q = (( a² + b² + c² )/3)^1/2 . Найдите среднее квадратичное чисел 2^1/2, 3 и 17.

23 СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ

Среднее гармоническое трёх чисел a, b и с вычисляется по формуле
h = (( a ^{̶ 1} + b ^{̶ 1} + c ^{̶ 1} )/3) ^{̶ 1}. Найдите среднее гармоническое чисел 1/4, 1/7, 1.

24 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И СТОРОНА

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = a b c /(4 R), где a, b и c - стороны треугольника, а R - радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите b, если a = 12, c = 13, S = 30, R = 13/2.  

25 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = a b c /(4 R), где a, b и c - стороны треугольника, а R - радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a = 4, b = 13, c = 15, R = 65/8.  

26 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПОЛУПЕРИМЕТР

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = ( a + b + c ) r / 2, где a, b и c - стороны треугольника, а r - радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой формулой, найдите b, если a = 7, c = 9, S = 12·5^1/2, r = 5^1/2.

27 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И СИНУС

Площадь треугольника вычисляется по формуле S = ½  b c sin α, где b и c - стороны треугольника, а α - угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину sin α, если b = 5, c = 16, S = 12.

28 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО СТОРОНАМ И УГЛУ

Площадь треугольника вычисляется по формуле S = ½  b c sin α, где b и c - стороны треугольника, а α - угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b = 18, c = 16, sin α = 1/3.

29 ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = ½  d ² sin α,
где d - диагональ, α - угол между диагоналями.
Пользуясь этой формулой, найдите S, если d = 5 и sin α = 2/5.

30 ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Площвдь трапеции вычисляется по формуле s = ½ (a + b ) h, где a и b - основания трапеции, h - её высота. Пользуясь этой формулой, найдите s, если a = 3, b = 8 и h = 4.

31 ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = ½  d₁· d₂ sin α, где d₁, d₂ - длины диагоналей четырёхугольника, α - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d₁= 4, d₂ = 7, sin α = 2/7.

32 ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = ½  d₁· d₂ sin α, где d₁, d₂ - длины диагоналей четырёхугольника, α - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если S = 4, d₂ = 7, sin α = 2/7.

33 ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и с можно найти по формуле S = 2 (ab + ac + bc). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 6.

34 ОБЪЁМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = a b c , где а, b и с - длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите a, если V = 27, b = 3 и c = 4.5.

35 МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА

Длина медианы m_c ,  проведенной к стороне треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле m_c  = ½ (2a² + 2b²  ̶  c²)^1/2 .
Найдите длину медианы m_c , если a = 3^1/2, b = 7^1/2, c = 2.

36 ФОРМУЛА ГЕРОНА

Площадь треугольника со сторонами a, b, с можно найти по формуле Герона
S = ( p ( p  ̶  a ) ( p  ̶  b ) ( p  ̶  c ))^1/2, где  p = ½ ( a + b + c ).
Найдите площадь треугольника со сторонами 4, 13, 15.

37 ТЕОРЕМА СИНУСОВ И СТОРОНА

Теорему синусов можно записать в виде a / sin α = b / sin β, где a и b - две стороны треугольника, а α и β - углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите a, если b = 15, sin α = 1/5, sin β = 1/4.  

38 ТЕОРЕМА СИНУСОВ И УГОЛ

Теорему синусов можно записать в виде a / sin α = b / sin β, где a и b - две стороны треугольника, а α и β - углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину sin α, если a = 13, b = 5, sin β = 1/26.  

39 ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Теорему косинусов можно записать в виде cos γ = ( a² + b²  ̶  c² )/(2ab), где a, b и c - стороны треугольника, а γ - угол между сторонами a и b. Пользуясь этой формулой, найдите величину cos γ, если a = 5, b = 6 и c = 7.

40 РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле

R  = a / (2 sin α), где a - сторона, а α - противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите a, если R = 12 и sin α = 2/3

41 РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле

R  = a / (2 sin α), где a - сторона, а α - противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите R, если a = 8 и sin α = 1/7

42 РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле r = ½ ( a + b  ̶  c ) , где a и b - катеты, а c - гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите c, если a = 6, b = 8 и r = 2.

43 СУММА УГЛОВ МНОГОУГОЛЬНИКА

Сумма углов правильного выпуклого многоугольника вычисляется по формуле
Σ = ( n  ̶  2 ) π, где n - количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите n, если
Σ = 14 π.

44 ДЛИНА БИССЕКТРИСЫ

Длина биссектрисы l_c , проведённой к стороне с треугольника со сторонами a, b и с, вычисляется по формуле l_c = ( a b (( a + b)²  ̶  c² ))^1/2/( a + b ). Треугольник имеет стороны 4, 5·7^1/2, 16 . Найдите биссектрису  l_c , если a = 2, b = 4, c = 3·2^1/2 .

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

08 

РЕШЕНИЕ

09 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ

08 

РЕШЕНИЕ

09 

РЕШЕНИЕ

10 

РЕШЕНИЕ

11 

РЕШЕНИЕ

12 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

01 

РЕШЕНИЕ

02 

РЕШЕНИЕ

03 

РЕШЕНИЕ

04 

РЕШЕНИЕ

05 

РЕШЕНИЕ

06 

РЕШЕНИЕ

07 

РЕШЕНИЕ