2015
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
15
ТРЕБОВАНИЯ
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
4.1 Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей)
ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
5.1.1
Треугольник
5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
5.1.3 Трапеция
5.1.4 Окружность и круг
5.5.2 Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и
плоскостью, угол между плоскостями
5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга,
сектора
УГЛЫ
01 УГЛЫ
На прямой AB взята точка М. Луч MD - биссектриса угла
СМ В. Известно, что ∠DMC = 55°. Найдите величину угла СМ А.
Ответ дайте в градусах.
02
УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩИХ
Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите ∠3, если ∠1 =
28°, ∠2 = 77°. Ответ дайте в градусах.
03
УГЛЫ
В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB = ВС,
AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол А.
Ответ дайте в градусах.
04
УГЛЫ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
ABCDEFGHI — правильный девятиугольник. Найдите угол ADC . Ответ
дайте в градусах.
05
СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC
равен 58°, угол ABC равен 31°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в
градусах.
06
УГЛЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
В параллелограмме ABCD диагональ в AC в два раза больше
стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями
параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
ТРЕУГОЛЬНИКИ
07
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую среднюю
линию треугольника.
08 ТРИГОНОМЕТРИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН - высота, ВС
= 14, sin А = 1/7. Найдите АН.
09
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна
131/2
, а один из катетов равен 2.
10
ОТРЕЗКИ И УГЛЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 25, AC
= 14 . Найдите длину медианы BM.
11
ОТРЕЗКИ И УГЛЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, медиана ВМ
равна 6. Площадь треугольника ABC равна 12·71/2
. Найдите длину стороны АВ.
12
ОТРЕЗКИ И УГЛЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, АС =
8,
tg∠BAC =
51/2
/ 2
. Найдите длину стороны АВ.
13
ОТРЕЗКИ И УГЛЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В треугольнике АВС АВ = ВС = 20, АС
= 24. Найдите синус угла ВАС.
14 ПЛОЩАДЬ
РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника,
равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 4. Найдите площадь этого
треугольника.
15
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
В треугольнике АВС BC
=
71/2
,
AC =
3·71/2,
внешний угол при вершине С равен 120°. Найдите АВ.
16 ТЕОРЕМА СИНУСОВ
В треугольнике АВС ВС =12, sin А = 2/3, внешний угол при
вершине С равен 150°. Найдите АВ.
17 УГЛЫ
ТУПОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
В тупоугольном треугольнике ABC АС = ВС = 5, высота АН
равна 4. Найдите sin АСВ.
18
ТРЕУГОЛЬНИК
В треугольнике ABC сторона AC = 13, BM - медиана, BH
- высота, ВС = ВМ. Найдите длину отрезка АН.
19
ТРЕУГОЛЬНИК
В треугольнике AВС проведена биссектриса AL , угол ALC
равен 150°, угол ABC равен 127°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте
в градусах.
20
ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В треугольнике ABC на сторонах АВ и BC отмечены точки M
и K соответственно так, что BM : AB = 1 : 2, а BK
: BC = 4:5. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше
площади треугольника MBK?
21
ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, на стороне АВ
взята точка K так, что AK = 1/3 AB. Площадь
треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника АВС.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
22 ОТРЕЗКИ
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого АВ = 5 и
AD = 17, отмечена точка Е так, что ∠EAB = 45°. Найдите
ED.
23
ПЛОЩАДЬ РОМБА
Найдите площадь ромба, если его высота равна 5, а острый угол 30°.
24
ПЛОЩАДЬ РОМБА
Площадь ромба равна 36. Одна из его диагоналей равна 6. Найдите другую
диагональ.
25 РОМБ И КВАДРАТ
Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его
острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 16.
26
ОТРЕЗКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
В параллелограмме ABCD отмечена точка M - середина стороны
BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите
BK, если BD = 12.
27 ВЫСОТЫ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на меньшую сторону,
равна 12. Найдите длину высоты, опущенной на бОльшую сторону
параллелограмма.
28 ВЫСОТЫ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
В параллелограмме ABCD АВ = 1, AD = 6, sin А = 1/3.
Найдите большую высоту параллелограмма.
29
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
В параллелограмме ABCD АВ = 5, АС = BD =13. Найдите
площадь параллелограмма.
30
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 52. Боковые стороны равны 25.
Найдите синус острого угла трапеции.
31
РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ
В трапеции ABCD известно, что АВ = CD, ∠BDA =
40° и ∠BDC = 30°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
32
РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 4, а другое - 8. Высота
трапеции равна 5. Найдите тангенс острого угла трапеции.
33
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ
В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135° .
Найдите меньшую боковую сторону.
34
РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ
Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13.
Найдите высоту трапеции.
35
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с
одним из оснований трапеции угол 150° . Найдите площадь трапеции.
ОКРУЖНОСТЬ
36
ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ
УГЛЫ ОКРУЖНОСТИ
В окружности с центром O отрезки AC и BD - диаметры.
Центральный угол AOD равен 130°. Найдите вписанный угол ACB .
Ответ дайте в градусах.
37 ВПИСАННЫЕ И
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ ОКРУЖНОСТИ
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°,
угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
38 ДОСРОЧНЫЙ
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИМАННАЯ В УГОЛ
В угол C, равный 140°, вписана окружность с центром О, которая
касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ.
Ответ дайте в градусах.
39 ВПИСАННЫЕ И
ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
На окружности радиуса 3 взята точка C. АВ - диаметр
окружности,
AC =
2·51/2
. Найдите BC.
40 ВПИСАННЫЕ И
ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 36, ВС
= 10.5. Найдите радиус вписанной окружности.
