C5 Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение log[`+`(1, `-`(x))](`+`(a, `-`(x), 2)) = 2  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1;1). 

РЕШЕНИЕ 

Перейдём к рациональным функциям: 

 

`*`(`^`(`+`(x, `-`(1)), 2)) = `+`(a, `-`(x), 2)  при выполнении условий: 

 

Из графического решения следует, что у параболы и прямых - от 0 до 2 общих точек. 

 

Найдём корни квадратного уравнения: 

 

`+`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(x)), `+`(`-`(a), `-`(1))) = 0 

x[1, 2] = `*`(`+`(1, `&+-`(sqrt(`+`(`*`(4, `*`(a)), 5)))), `/`(1, 2)) 

Для левого корня потребуем:



`and`(`<=`(-`/`(5, 4), a), `<=`(a, 1))
Для него же из условия x ≠ 0 следует требование `<>`(a, -1).
Следовательно, для требование


`>`(sqrt(`+`(`*`(4, `*`(a)), 5)), `+`(`-`(3), `-`(`*`(2, `*`(a)))))
выполняется автоматически

Для правого корня:



`and`(`<=`(-`/`(5, 4), a), `<`(a, -1))
Для таких значений параметра остается потребовать 



 





Множество принадлежит этому множеству. 

0@0<5B@ 

8AC=>: 

ПРОВЕРКА
Image 

restart; -1 

log[`+`(1, `-`(x))](`+`(a, `-`(x), 2)) = 2[[x = `+`(`/`(1, 2), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(`+`(5, `*`(4, `*`(a))), `/`(1, 2))))))], [x = `+`(`/`(1, 2), `*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(`+`(5, `*`(4, `*`(a))), `/`(1, 2)))))]] 

`*`(`^`(`+`(x, `-`(1)), 2)) = `+`(a, `-`(x), 2) 

 

y(x, a) = `+`(log[`+`(1, `-`(x))](`+`(a, `-`(x), 2)), `-`(2)) 

with(plots); -1; a1 := -`/`(5, 4); -1; a3 := -1; -1; a5 := 1; -1; a2 := -`/`(9, 8); -1; a4 := `/`(1, 2); -1; a6 := -2; -1; a7 := 2; -1; f := proc (a, x) options operator, arrow; `+`(log[`+`(1, `-`(x))...
with(plots); -1; a1 := -`/`(5, 4); -1; a3 := -1; -1; a5 := 1; -1; a2 := -`/`(9, 8); -1; a4 := `/`(1, 2); -1; a6 := -2; -1; a7 := 2; -1; f := proc (a, x) options operator, arrow; `+`(log[`+`(1, `-`(x))...
with(plots); -1; a1 := -`/`(5, 4); -1; a3 := -1; -1; a5 := 1; -1; a2 := -`/`(9, 8); -1; a4 := `/`(1, 2); -1; a6 := -2; -1; a7 := 2; -1; f := proc (a, x) options operator, arrow; `+`(log[`+`(1, `-`(x))...
with(plots); -1; a1 := -`/`(5, 4); -1; a3 := -1; -1; a5 := 1; -1; a2 := -`/`(9, 8); -1; a4 := `/`(1, 2); -1; a6 := -2; -1; a7 := 2; -1; f := proc (a, x) options operator, arrow; `+`(log[`+`(1, `-`(x))... 

ОТВЕТ