C4 Окружность радиуса `+`(`*`(6, `*`(sqrt(2)))) вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN. 

РЕШЕНИЕ 

Разумно применить метод координат. 

Центры O и A вписанных в прямой угол окружностей принадлежат его биссектрисе AO.  

Пусть r - радиус первой окружности, причем  

restart; -1; r := `+`(`*`(6, `*`(sqrt(2)))); -1; d := 8; -1; R := `+`(r, `/`(`*`(d), `*`(sqrt(2)))); -1 

Для радиуса второй окружности верно (см. ΔABO): 

`and`(AM = AN, `and`(AN = R, `and`(R = `+`(r, `&+-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))), `and`(`+`(r, `&+-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))) = `+`(`*`(6, `*`(sqrt(2))), `&+-`(`+`(`/`(`*`(8), `*`(sqrt(2)))))), `+`(... 

Составим систему из уравнений окружностей в прямоугольной системе координат, оси которой содержат стороны прямого угла:
 

Вычтем из второго уравнения первое: 




`+`(x, y) = `*`(`+`(R, r), `/`(1, 2))
Исходная система равносильна следующей:


Координаты точек пересечения окружностей:


Искомое расстояние: 

Delta = sqrt(`*`(`+`(`*`(6, `*`(R, `*`(r))), `-`(`*`(`^`(R, 2))), `-`(`*`(`^`(r, 2)))), `/`(1, 2))) = Delta = `+`(`*`(4, `*`(`^`(14, `/`(1, 2))))) 

MEGEBank 

8AC=>:1 

 

Для второго случая: 

restart; -1; r := `+`(`*`(6, `*`(sqrt(2)))); -1; d := 8; -1; R := `+`(r, `-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))); -1 

Delta = sqrt(`*`(`+`(`*`(6, `*`(R, `*`(r))), `-`(`*`(`^`(R, 2))), `-`(`*`(`^`(r, 2)))), `/`(1, 2))) = Delta = `+`(`*`(4, `*`(`^`(2, `/`(1, 2)))))  

MEGEBank 

8AC=>:2 

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 

ОТВЕТ 

`+`(`*`(4, `*`(sqrt(2)))); 1; `+`(`*`(4, `*`(sqrt(14))))