B14 Найдите наименьшее значение функции y = `+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 8) на отрезке [-2; l] 

РЕШЕНИЕ 

Выделим полный квадрат:
`and`(y = `+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 8), `+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 8) = `+`(`*`(`^`(`+`(exp(x), `-`(1)), 2)), 7))
Теперь очевидно, что на указанном отрезке
 

`and`(y[=08<5=LH55] = y(0), y(0) = 7) 

ПРОВЕРКА 

Click 

Найдём производную и разложим её на множители: 

> s1; 1; s2
 

 

diff(f(x), x) = `+`(`*`(2, `*`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))))
diff(f(x), x) = `+`(`*`(2, `*`(exp(x), `*`(`+`(exp(x), `-`(1))))))
 

Единственная критическая точка x = 0 принадлежит отрезку: 

> s3
 

x[1] = 0
 

Исследуем производную на знак: 

Image 

Исходя из характера монотонности, заключаем: 

> s4; 1; s7; 1
 

 

y[min] = y(0)
y[=08<5=LH55] = 7
 

Т.е. наименьшее значение достигается в точке минимума, попавшей на отрезок: 

Значения функции на концах отрезка: 

> s5; 1; s6
 

 

y(-2) = `+`(exp(-4), `-`(`*`(2, `*`(exp(-2)))), 8), y(1) = `+`(exp(2), `-`(`*`(2, `*`(exp(1)))), 8)
y(-2) = 7.747645072, y(1) = 9.952492443
 

Эскиз графика: 

> s8
 

 

minimize(`+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 8), x = -2 .. 1) = 7ОТВЕТ 

7