Закажи себе WolframAlpha|Pro! Получи пошаговые решения твоих задач!

Досрочный ЕГЭ 2013 с Wolfram|Alpha :: vol.2

ЧАСТЬ 1 

B1 Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 20 миль в час? Ответ округлите до целого числа. 

РЕШЕНИЕ 

MEGEbank 

Пусть значение скорости на спидометре - v = 20,  a = 1609 - значение американской мили в метрах.
Тогда скорость V автомобиля в километрах в час определяется по формуле:
V = `+`(`*`(`/`(1, 1000), `*`(v, `*`(a))))
 V = `/`(1609, 50)

Приближенное значение скорости автомобиля в км/ч:  V = 32.

ОТВЕТ 32 

 

B2 На рисунке жирными точками показан курс австралийского доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 по 27 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольший курс доллара за указанный период. Ответ дайте в рублях.
MEGEbank
 

РЕШЕНИЕ
MEGEbank
 

Если Вам не очевиден ответ, то Вы нестандартно мыслите. Поздравляю! 

ОТВЕТ 30.3 

 

B3 В треугольнике ABC DE - средняя линия. Площадь треугольника ADE равна 4. Найдите площадь треугольника AВС.
MEGEbank
 

РЕШЕНИЕ 

Треугольники ΔABC и ΔADE подобны, поскольку у них соответствующие стороны параллельны.
Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:
`implies`(`and`(`/`(`*`(S[ABC]), `*`(S[ADE])) = `^`(`/`(`*`(BC), `*`(DE)), 2), `^`(`/`(`*`(BC), `*`(DE)), 2) = 4), `and`(S[ABC] = `*`(4, 4), `*`(4, 4) = 16))
 

ОТВЕТ 16 

 

B4 Автомобильный журнал определяет рейтинги автомобилей на основе показателей безопасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается по 5-балльной шкале от 1 до 5. Рейтинг R вычисляется по формуле R = `*`(0.25e-1, `+`(`*`(3, `*`(S)), C, F, `*`(2, `*`(Q)), D)). В таблице даны оценки каждого показателя для трех моделей автомобилей. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей автомобилей. 

Модель автомобиля 

Безопасность 

Комфорт 

Функциональность 

Качество 

Дизайн 

А 

3 

4 

1 

3 

2 

Б 

2 

4 

4 

5 

3 

В 

4 

4 

5 

1 

5 

РЕШЕНИЕ
Image
 

Трижды воспользуемся расчетной формулой: 

R[A] = `*`(`/`(1, 40), `+`(`+`(`+`(`*`(3, 3), 4), 1), 2, `*`(2, 3))) = R[A] = `/`(11, 20)R[A] = .55000  

R[] = `*`(`/`(1, 40), `+`(`+`(`+`(`*`(3, 2), 4), 4), 3, `*`(2, 5))) = R[] = `/`(27, 40)R[] = .67500  

R[] = `+`(`*`(`/`(1, 40), `*`(`+`(`+`(`+`(`+`(`*`(3, 4), 4), 5), 5), 2)))) = R[] = `/`(7, 10)R[] = .70000  

Удобно вначале сравнивать обыкновенные дроби:
iff(`and`(`<`(`/`(`*`(`*`(11, 2)), `*`(`*`(20, 2))), `/`(27, 40)), `<`(`/`(27, 40), `/`(`*`(`*`(7, 4)), `*`(`*`(10, 4))))), `and`(`<`(R[A], R[]), `<`(R[], R[])))
 

ОТВЕТ 0.7 

 

B5 Найдите корень уравнения `/`(1, `*`(`+`(`*`(8, `*`(x)), 5))) = `/`(1, `*`(`+`(`*`(7, `*`(x)), 14))).  

РЕШЕНИЕ 

MEGEbank 

Дано дробно-рациональное уравнение. Перенесем правую часть влево, а затем приведем дроби к общему знаменателю. 

 

 

Дробь равна нулю, когда её числитель равен 0. В то же время, корень числителя не должен совпадать с корнями знаменателя: 

 

ПРОВЕРКА 

`/`(1, `*`(`+`(`*`(8, `*`(x)), 5))) = `/`(1, `*`(`+`(`*`(7, `*`(x)), 14))){x = 9} 

ОТВЕТ 9 

 

B6 Найдите тангенс угла AОВ, изображённого на клетчатой бумаге.
MEGEbank
 

РЕШЕНИЕ 

Из точки B удобно опустить перпендикуляр на отрезок  AO.
Из прямоугольного треугольника BOC следует:
`and`(`&angle;`(tg, COB) = `&angle;`(tg, AOB), `and`(`&angle;`(tg, AOB) = `/`(`*`(BC), `*`(CO)), `and`(`/`(`*`(BC), `*`(CO)) = `/`(3, 4), `/`(3, 4) = .75)))
 

MEGEbank  Image

ОТВЕТ 0.75  

 

B7 Найдите значение выражения  

РЕШЕНИЕ 

Воспользуемся формулой приведения: 

 

ПРОВЕРКА 

`+`(`/`(`*`(4, `*`(cos(`*`(`+`(`*`(34, `*`(Pi))), `/`(1, 180))))), `*`(sin(`*`(`+`(`*`(56, `*`(Pi))), `/`(1, 180))))), 1)5 

ОТВЕТ 5 

 

B8 На рисунке изображён график у = F (x) - одной из первообразных некоторой функции f (x), определенной на интервале (-2;6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x) = 0 на отрезке [-1;5].
Image
 

РЕШЕНИЕ 

По определению первообразной:
`implies`(F(x) = `+`(int(f(x), x), C), f(x) = diff(F(x), x))
 

Следовательно, интересует количество точек, в которых производная от первообразной равна 0.
Таковыми будут являться экстремальные точки.
На отрезке
[-1;5] у функции 5 максимумов и 5 минимумов.
Image
Всего экстремальных точек
10
ОТВЕТ 10 

 

B9 В прямоугольном параллелепипеде `*`(ABCD, `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C[1], `*`(D[1]))))) известны длины ребер: AB = 24, AD = 45, AA[1] = 27. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, A[1], C.
MEGEbank
 

РЕШЕНИЕ 

Через точки A, A[1], C можно провести всего лишь одну плоскость, которая обязана содержать ребро CC[1] || (AA[1]).
Ребра AA[1], CC[1] перпендикулярны основаниям параллелепипеда.
Следовательно, указанное сечение - прямоугольник `*`(AA[1], `*`(C[1], `*`(C))). Его площадь:
 

`and`(S = `*`(AC, `*`(AA[1])), `*`(AC, `*`(AA[1])) = `*`(sqrt(`+`(`*`(`^`(AB, 2)), `*`(`^`(AD, 2)))), `*`(AA[1]))) 

S = `+`(`*`(27, `*`(sqrt(`+`(`^`(24, 2), `^`(45, 2)))))) = S = 1377  

ОТВЕТ 1377 

 

B10 В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет оба раза. 

РЕШЕНИЕ 

Image 

Задача на классическое определение вероятности.
Равновозможных событий - 4, благоприятных исходов - 1. Поэтому искомая вероятность:
`and`(P(A) = `/`(1, 4), `/`(1, 4) = .25)
 

Тот же результат можно получить, воспользовавшись теоремой о произведении вероятностей:
`and`(P(A) = `*`(`/`(1, 2), `/`(1, 2)), `*`(`/`(1, 2), `/`(1, 2)) = .25)
 

ОТВЕТ 0.25 

 

B11 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4 высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? 

РЕШЕНИЕ 

MEGEbank 

Отношение объёмов конусов с радиусами R, r и высотами H, h : 

`and`(`/`(`*`(V), `*`(v)) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2), `*`(H, `*`(`/`(`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(Pi, `*`(`^`(r, 2), `*`(h)))))))))))), `and`(`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(Pi, `*`(`^`(R, 2), `*`(H,... 

Искомая величина: 

`and`(Delta = `+`(V, `-`(v)), `and`(`+`(V, `-`(v)) = `+`(`+`(`*`(64, `*`(v))), `+`(`-`(v))), `+`(`+`(`*`(64, `*`(v))), `+`(`-`(v))) = `+`(`*`(63, `*`(v))))) 

Delta = `*`(63, 6) = Delta = 378

ОТВЕТ 378 

 

B12 Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = `+`(`*`(5, `*`(`^`(10, -6)))) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = `+`(`*`(4, `*`(`^`(10, 6)))) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U[0] = 12 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с), где α = 1.4 − постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 28 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах). 

РЕШЕНИЕ
MEGEbank
 

Составим и решим вытекающее из условия логарифмическое неравенство: 

 

 

iff(iff(`>=`(`+`(`/`(`*`(12, `*`(log[2])), `*`(U))), 1), `>=`(`+`(`/`(`*`(12), `*`(U))), 2)), `<=`(U, 6)) 

ПРОВЕРКА 

RealRange(Open(0), 6)

ОТВЕТ 6 

 

B13 Первый сплав содержит 5% меди, второй − 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. 

РЕШЕНИЕ 

Пусть m - масса второго сплава. Тогда:
 

 

 

iff(`*`(`+`(22, -19), `*`(m)) = `+`(`*`(9, `*`(`+`(14, -11)))), m = 9)
Искомая величина:
`and`(M = `+`(`*`(2, `*`(m)), 9), `+`(`*`(2, `*`(m)), 9) = 27)
 

ПРОВЕРКА 

`/`(`*`(`+`(`*`(`*`(5, `/`(1, 100)), `*`(m)), `*`(`*`(14, `/`(1, 100)), `*`(`+`(m, 9))))), `*`(`+`(`+`(m, m), 9))) = `/`(11, 100){m = 9}  

ОТВЕТ 27 

 

B14 Найдите наименьшее значение функции y = `+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 9) на отрезке [-1; 1] 

РЕШЕНИЕ 

Выделим полный квадрат:
`and`(y = `+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 9), `+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 9) = `+`(`*`(`^`(`+`(exp(x), `-`(1)), 2)), 8))
Очевидно, что на указанном отрезке
 

`and`(y[=08<5=LH55] = y(0), y(0) = 8) 

ПРОВЕРКА 

Эскиз графика: 
Click
 

Найдём производную и разложим её на множители:

diff(f(x), x) = `+`(`*`(2, `*`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))))     diff(f(x), x) = `+`(`*`(2, `*`(exp(x), `*`(`+`(exp(x), `-`(1))))))

Единственная критическая точка x[1] = 0 принадлежит отрезку.

Исследуем производную на знак: 

Image 

Исходя из характера монотонности, заключаем: 

y[min] = y(0) y[=08<5=LH55] = 8

Т.е. наименьшее значение достигается в точке минимума, попавшей на отрезок: 

Значения функции на концах отрезка: 

y(-1) = `+`(exp(-2), `-`(`*`(2, `*`(exp(-1)))), 9), y(1) = `+`(exp(2), `-`(`*`(2, `*`(exp(1)))), 9)

y(-1) = 8.399576401, y(1) = 10.95249244

minimize(`+`(exp(`+`(`*`(2, `*`(x)))), `-`(`*`(2, `*`(exp(x)))), 9), x = -1 .. 1) = 8
ОТВЕТ
 8 

 

ЧАСТЬ 2 

C1 А :: Решите уравнение  `+`(`*`(2, `*`(sin(`+`(x, `-`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi))), `/`(1, 2))))), `*`(sin, `*`(x))))) = `+`(`-`(`*`(sqrt(3), `*`(cos, `*`(x))))).  
Б
:: Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 4 π ; 5.5 π ] . 

РЕШЕНИЕ 

MEGEbank 

А ::  

Воспользуемся периодичностью синуса  

 

и формулой приведения: 

`*`(`+`(`*`(2, `*`(cos, `*`(x, `*`(sin))))), x) = `+`(`-`(`*`(sqrt(3), `*`(cos, `*`(x))))) 

 

 

Б ::  Корни уравнения, принадлежащие отрезку [ 4 π ; 5.5 π ] легко выбрать непосредственной подстановкой подходящих значений параметров k  и n :
 

ПРОВЕРКА 

MEGEbank 

`+`(`*`(4, `*`(Pi, `*`(`*`(`+`(`*`(9, `*`(Pi))), `/`(1, 2)), `*`(`*`(`+`(`*`(16, `*`(Pi))), `/`(1, 3)), `*`(`*`(`+`(`*`(11, `*`(Pi))), `/`(1, 2)))))))) 

`+`(`*`(2, `*`(sin(`+`(x, `-`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi))), `/`(1, 2))))), `*`(sin(x))))) = `+`(`-`(`*`(sqrt(3), `*`(cos(x))))){x = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)), `*`(Pi, `*`(_Z1)))}, {x = `+`(`-`(`*`(`/`(1, 3), `*`(Pi))), `*`(`/`(5, 3), `*`(Pi, `*`(_B2))), `*`(2, `*`(Pi, `*`(_Z2))))} 

solve({`>=`(x, `+`(`-`(Pi))), `+`(`*`(2, `*`(sin(`+`(x, `-`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi))), `/`(1, 2))))), `*`(sin(x))))) = `+`(`-`(`*`(sqrt(3), `*`(cos(x))))), `<=`(x, `+`(`*`(10, `*`(Pi))))}) 
{x = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)))}, {x = `+`(`-`(`*`(`/`(1, 3), `*`(Pi))))}
x := `*`(`+`(`*`(16, `*`(Pi))), `/`(1, 3)); -1; `+`(`*`(2, `*`(sin(`+`(x, `-`(`*`(`+`(`*`(7, `*`(Pi))), `/`(1, 2))))), `*`(sin(x))))) = `+`(`-`(`*`(sqrt(3), `*`(cos(x))))); 1
`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(3, `/`(1, 2))))) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(3, `/`(1, 2)))))

ОТВЕТ 

А :: x = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi)), `*`(Pi, `*`(k))), x = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(-1, `+`(n, 1)), `*`(Pi))), `*`(Pi, `*`(n))), k, `in`(n, Z)  Б ::  

Содержание критерия 

Баллы 

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 

2 

Обоснованно получен верный ответ в пункте А или в пункте Б 

1 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 

0 

Максимальный балл 

2 

 

C2 Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8, а большего - 15 Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара. Найти площадь сечения этой плоскостью большего шара.
MEGEbank
 

РЕШЕНИЕ 

Image 

Выполним осевое сечение комбинации объектов 3D. 

Учтем, что радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. 

Пусть: `and`(OD = OE, OE = R), `and`(OB = OC, OC = r), BD = m, AC = n, CE = c, OA = d 

Воспользуемся теоремой Пифагора применительно к треугольникам OBD, OAC, OAE:
`+`(`*`(`^`(OD, 2)), `-`(`*`(`^`(OB, 2)))) = `*`(`^`(BD, 2)), `+`(`*`(`^`(OC, 2)), `-`(`*`(`^`(OA, 2)))) = `*`(`^`(AC, 2)), `+`(`*`(`^`(OE, 2)), `-`(`*`(`^`(OA, 2)))) = `*`(`^`(CE, 2))
Получим систему уравнений:

а это и есть квадрат радиуса сечения большего шара плоскостью α.
Искомая площадь сечения:
`and`(S = `*`(Pi, `+`(`/`(`*`(7), `*`(Pi)))), `*`(Pi, `+`(`/`(`*`(7), `*`(Pi)))) = 7)
 

Стоит заметить, что указанным данным отвечает бесконечное множество пар сфер.  

ОТВЕТ 7 

Содержание критерия 

Баллы 

Обоснованно получен верный ответ 

2 

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано  

1 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 

0 

Максимальный балл 

2 

 

C3 Решите систему неравенств:  

РЕШЕНИЕ 

Решим систему из показательного и дробно-рационального неравенств: 


Левую часть первого разложим на множители (предварительно найдя корни квадратного трехчлена  `+`(`*`(`^`(t, 2)), `-`(`*`(39, `*`(t))), 270), t = `^`(3, x)). В левой стороне второго выделим целую часть неправильной дроби, а её дробную часть упростим:
 

 

 

Применим метод интервалов 

 

Пересечем найденные решения: 

MEGEBank 

 

ПРОВЕРКА 

{`<=`(`+`(`^`(4, x), `-`(`*`(29, `*`(`^`(2, x)))), 168), 0), `>=`(`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(5, `*`(`^`(x, 3)))), `*`(3, `*`(x)), `-`(25))), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(5, `*`(x)))))), `+...
{x = 3}, {`<`(4, x), `<`(x, `/`(`*`(ln(21)), `*`(ln(2))))}
`+`(`*`(`^`(t, 2)), `-`(`*`(29, `*`(t))), 168)`*`(`+`(t, `-`(8)), `*`(`+`(t, `-`(21))))`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(5, `*`(`^`(x, 3)))), `*`(3, `*`(x)), `-`(25))), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(5, `*`(x))))))
`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(2), `*`(`+`(x, `-`(5))))), `/`(`*`(5), `*`(x)))
 

convert(`/`(`*`(`+`(x, `-`(2))), `*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(`+`(x, `-`(4))))), parfrac) `+`(`-`(`/`(1, `*`(`+`(x, `-`(3))))), `/`(`*`(2), `*`(`+`(x, `-`(4)))))

`>=`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(6), `*`(x))), `-`(`/`(`*`(2), `*`(`+`(x, `-`(4)))))), `+`(`-`(`/`(1, `*`(`+`(x, `-`(3))))), `*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(6), `*`(x))))) 

`+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(6), `*`(x))), `-`(`/`(`*`(2), `*`(`+`(x, `-`(4))))))`/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(4, `*`(`^`(x, 3)))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 24)), `*`(x, `*`(`+`(x, `-`(4)))))`<=`(`+`(`-`(`/`(1, `*`(`+`(x, `-`(3))))), `*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(6), `*`(x)))), `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(4, `*`(`^`(x, 3)))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 24)), `*`(x, `*`(`+`(x, `-`(4)))))) 

{`<=`(`+`(`^`(9, x), `-`(`*`(39, `*`(`^`(3, x)))), 270), 0), `<=`(`+`(`-`(`/`(1, `*`(`+`(x, `-`(3))))), `*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(6), `*`(x)))), `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(4, `*`(`^`(x, 3))...{x = 2}, {`<`(3, x), `<`(x, `/`(`*`(ln(30)), `*`(ln(3))))} 

`<=`(`+`(`-`(`/`(1, `*`(`+`(x, `-`(3))))), `*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(6), `*`(x)))), `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(4, `*`(`^`(x, 3)))), `-`(`*`(8, `*`(x))), 24)), `*`(x, `*`(`+`(x, `-`(4)))))){`<`(x, 0)}, {`<=`(x, 2), `<`(0, x)}, {`<`(3, x), `<`(x, 4)} 

`<=`(`+`(`^`(9, x), `-`(`*`(39, `*`(`^`(3, x)))), 270), 0){`<=`(2, x), `<`(x, `/`(`*`(ln(30)), `*`(ln(3))))} 

ОТВЕТ 

 

Содержание критерия 

Баллы 

Обоснованно получен верный ответ 

3 

Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы 

2 

Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы 

1 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 

0 

Максимальный балл 

3 

 

C4 Окружность радиуса  `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))) вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 2. Найдите MN. 

РЕШЕНИЕ 

Разумно применить метод координат. 

Центры O и A вписанных в прямой угол окружностей принадлежат его биссектрисе AO.  

Пусть r - радиус первой окружности, причем  

restart; -1; r := `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))); -1; d := 2; -1; R := `+`(r, `/`(`*`(d), `*`(sqrt(2)))); -1 

Для радиуса второй окружности верно (см. ΔABO): 

`and`(AM = AN, `and`(AN = R, `and`(R = `+`(r, `&+-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))), `and`(`+`(r, `&+-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))) = `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2))), `&+-`(`+`(`/`(`*`(2), `*`(sqrt(2)))))), `+`(... 

Составим систему из уравнений окружностей в прямоугольной системе координат, оси которой содержат стороны прямого угла:
 

Вычтем из второго уравнения первое: 




`+`(x, y) = `*`(`+`(R, r), `/`(1, 2))
Исходная система равносильна следующей:


Координаты точек пересечения окружностей:


Искомое расстояние:
 

Delta = sqrt(`*`(`+`(`*`(6, `*`(R, `*`(r))), `-`(`*`(`^`(R, 2))), `-`(`*`(`^`(r, 2)))), `/`(1, 2))) = Delta = `*`(`^`(23, `/`(1, 2)))  

MEGEBank 

Для второго случая: 

restart; -1; r := `+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))); -1; d := 2; -1; R := `+`(r, `-`(`/`(`*`(d), `*`(sqrt(2))))); -1 

Delta = sqrt(`*`(`+`(`*`(6, `*`(R, `*`(r))), `-`(`*`(`^`(R, 2))), `-`(`*`(`^`(r, 2)))), `/`(1, 2))) = Delta = `*`(`^`(7, `/`(1, 2)))  

MEGEBank 

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 

ОТВЕТ sqrt(23); 1; sqrt(7) 

 

C5 Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение log[`+`(`-`(x))](`+`(a, `-`(x), 1)) = 2  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−2;0). 

РЕШЕНИЕ 

Перейдём к рациональным функциям: 

 

`*`(`^`(x, 2)) = `+`(a, `-`(x), 1)  при выполнении условий: 

 

Из графического решения следует, что у параболы и прямых - от 0 до 2 общих точек. 

Найдём корни квадратного уравнения: 

 

`+`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), x), `+`(`-`(a), `-`(1))) = 0 

x[1, 2] = `*`(`+`(`-`(1), `&+-`(sqrt(`+`(`*`(4, `*`(a)), 5)))), `/`(1, 2)) 

Для левого корня потребуем:



`and`(`<=`(-`/`(5, 4), a), `<=`(a, 1))
Для него же из условия x ≠ -1 следует требование `<>`(a, -1).
Следовательно, для требование


`>`(sqrt(`+`(`*`(4, `*`(a)), 5)), `+`(`-`(3), `-`(`*`(2, `*`(a)))))
выполняется автоматически

Для правого корня:



`and`(`<=`(-`/`(5, 4), a), `<`(a, -1))
Для таких значений параметра остается потребовать
 



 





Множество принадлежит этому множеству.
 

0@0<5B@ 

ПРОВЕРКА 

log[`+`(`-`(x))](`+`(a, `-`(x), 1)) = 2[[x = `+`(`-`(`/`(1, 2)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(`+`(5, `*`(4, `*`(a))), `/`(1, 2))))))], [x = `+`(`-`(`/`(1, 2)), `*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(`+`(5, `*`(4, `*`(a))), `/`(1, 2)))))]] 

`*`(`^`(`+`(x, `-`(1)), 2)) = `+`(`-`(x), 2, a) 

ОТВЕТ   

Содержание критерия 

Баллы 

Обоснованно получен правильный ответ 

4 

Обоснованно получены все значения: a = -`/`(5, 4), a = -1, a = 1 .
Ответ отличаетя от верного только исключением точек a = -`/`(5, 4) и/или a = 1
 

3 

Обоснованно получены все значения: a = -`/`(5, 4), a = -1, a = 1 .  

2 

Верно найдено одно или два из значений  a = -`/`(5, 4), a = -1, a = 1 .  

1 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 

0 

Максимальный балл 

4 

 

C6 Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
А
:: Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
Б
:: Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
В :: Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111. 

РЕШЕНИЕ 

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию.
Обозначим a - первый член этой прогрессии, а d - её разность.
Тогда сумма её членов равна:
S[n] = `*`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `*`(d, `*`(`+`(n, `-`(1))))), `/`(1, 2)), `*`(n))
 

А :: Легко. Числа 5, 6, 7 составляют арифметическую прогрессию с суммой 18.
`+`(`+`(`≡`(18, 5), 6), 7)
 

Б ::  Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство:
 


n[1, 2] = `*`(`+`(`-`(1), `&+-`(sqrt(6401))), `/`(1, 2))
 

`*`(`+`(sqrt(6401), `-`(1)), `/`(1, 2))39.503 `<=`(n, 39) 

Сумма арифметической прогрессии 1, 2, ..., 39 равна 780 <800.
Т.е. наибольшее значение n равно 39.
В :: Для суммы членов арифметической прогрессии верно:

`and`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `*`(d, `*`(`+`(n, `-`(1))))), `*`(n)) = 222, 222 = `+`(`*`(37, `*`(`*`(2, 3)))))
Таким образом, число n должно быть делителем числа 222.
Если n ≥ 37, то  `implies`(`and`(`>=`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(a)), `*`(d, `*`(`+`(n, `-`(1))))), `*`(n)), `*`(37, 36)), `>`(`*`(37, 36), 222)), `<`(n, 37))
Поскольку n ≥ 3 , возможно только n = 3 или n = 6.
В1 n = 3 ⇒  
iff(`+`(a, d) = 37, d = `+`(37, `-`(a)))
Пример прогрессии из трёх членов: `implies`(a = 36 implies d = 1, `+`(`+`(36, 37), `≡`(38, 111)))
В2 n = 6 ⇒  
iff(`+`(`*`(2, `*`(a)), `*`(5, `*`(d))) = 37, a = `*`(`+`(37, `-`(`*`(5, `*`(d)))), `/`(1, 2)))
Пример прогрессии из шести членов:
 

`+`(`+`(`+`(`+`(16, 17), 18), 19), 20, `≡`(21, 111)) 

ОТВЕТ 

А :: Легко. 5;6;7 Б :: 39 В :: 3;6 

Содержание критерия 

Баллы 

Верно получены все перечисленные (см.критерий на 1 балл) результаты 

4 

Верно получены три из перечисленных (см.критерий на 1 балл) результатов 

3 

Верно получены два из перечисленных (см.критерий на 1 балл) результатов 

2 

Верно получен один из следующих результатов:  

- обоснованное решение пункта А; 

- обоснованное решение пункта Б;  

- верно найдены обо значения n в пункет В;
- доказано существование ровно двух значений n в пункет
В 

1 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 

0 

Максимальный балл 

4 

 
 
 

Назад

Индекс

Вперед